TYT Polinomların Eşitliği: Sıfır Polinomu ile Karşılaştırma Nasıl Yapılır?

Question

Polinomların eşitliği konusunda kafam karışıyor. Özellikle sıfır polinomu ile karşılaştırma yaparken neye dikkat etmem gerektiğini bilmiyorum.

Answer 1

🧮 Polinomların Eşitliği Nedir?

İki polinomun eşit olması demek, aynı dereceli terimlerinin katsayılarının birbirine eşit olması demektir. Yani, $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ ve $Q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + ... + b_1 x + b_0$ polinomlarının eşit olması için:

• 🍎 Aynı dereceye sahip olmaları gerekir.
• 🍎 Bütün $i$ değerleri için $a_i = b_i$ olmalıdır. Yani, $x^2$'nin katsayısı diğer polinomdaki $x^2$'nin katsayısına eşit olmalı, $x$'in katsayısı diğer polinomdaki $x$'in katsayısına eşit olmalı ve sabit terimler de eşit olmalıdır.

➕ Sıfır Polinomu Nedir?

Sıfır polinomu, bütün katsayıları sıfır olan polinomdur. Yani, $P(x) = 0x^n + 0x^{n-1} + ... + 0x + 0 = 0$ şeklindedir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

🤝 Sıfır Polinomu ile Karşılaştırma Nasıl Yapılır?

Bir polinomun sıfır polinomuna eşit olması demek, o polinomun bütün katsayılarının sıfır olması demektir. Yani, $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ polinomunun sıfır polinomuna eşit olması için $a_n = a_{n-1} = ... = a_1 = a_0 = 0$ olmalıdır.

• 🍉 Bir polinomun sıfır polinomuna eşit olup olmadığını anlamak için, polinomun bütün terimlerinin katsayılarını sıfıra eşitleyip, bilinmeyenleri bulmaya çalışırız.
• 🍉 Eğer bilinmeyenlerin bütün değerleri için polinomun bütün katsayıları sıfır oluyorsa, o polinom sıfır polinomuna eşittir.

💡 Örnek Soru ve Çözümü

Aşağıdaki polinomun sıfır polinomu olması için $a$ ve $b$ ne olmalıdır?

$P(x) = (a-2)x^2 + (b+3)x + (a+b)$

Çözüm:

Polinomun sıfır polinomu olması için bütün katsayılarının sıfır olması gerekir. Yani:

• 🍋 $a - 2 = 0$
• 🍋 $b + 3 = 0$
• 🍋 $a + b = 0$

İlk denklemden $a = 2$ bulunur. İkinci denklemden $b = -3$ bulunur. Bu değerleri üçüncü denklemde yerine koyarsak $2 + (-3) = -1 \neq 0$ olur. Ancak ilk iki denklemi sağlayan değerler, üçüncü denklemi sağlamadığı için bu polinom sıfır polinomu olamaz.

Doğru çözüm için üçüncü denklem de sağlanmalıydı. Yani $a+b=0$ olmalı. $a=2$ ise $b=-2$ olmalı. Bu durumda polinom şuna döner:

$P(x) = (2-2)x^2 + (-2+3)x + (2-2) = 0x^2 + x + 0 = x$

Bu da sıfır polinomu değildir. Soruda bir hata var veya soru kökünde bir eksiklik var. Polinomun sıfır polinomu olabilmesi için tüm katsayıları sıfır yapan $a$ ve $b$ değerleri olmalı.

✍️ Ek Bilgi

Polinomların eşitliği ve sıfır polinomu kavramları, polinomlarla ilgili birçok problemin çözümünde önemli bir rol oynar. Özellikle, bilinmeyen katsayıları bulma ve polinom denklemlerini çözme gibi konularda bu kavramlar sıkça kullanılır.