Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar Nedir?

Question

Açıortayın kendisi ile kenarlar arasında kalan açıları bulmakta zorlanıyorum. Hangi açıların eşit olduğunu ve bu doğrunun oluşturduğu yeni açıları nasıl hesaplayacağımı karıştırıyorum. Özellikle iç ve dış açıortay ayrımında kafam karışıyor.

Answer 1

Bir üçgende bir açıortay, bir köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Bu doğru parçasının oluşturduğu yeni açıları anlamak için, onun diğer kenarlarla ve diğer açıortaylarla kesişimini incelemek gerekir.

1. Açıortayın Kendisi ve Üçgenin Kenarları ile Oluşturduğu Açılar

Bir A köşesinden çizilen açıortay, karşı kenarı (BC kenarını) bir D noktasında keser. Bu durumda iki önemli açı oluşur:

• ∠BAD ve ∠DAC: Bu iki açı, A köşesindeki orijinal açının yarısına eşittir. Yani, eğer \( m(\widehat{BAC}) = \alpha \) ise, \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \frac{\alpha}{2} \) olur.
• Açıortayın kenarla yaptığı açılar: Örneğin, [AD] açıortayı ile [AB] kenarı arasındaki açı \( \frac{\alpha}{2} \)'dir. Benzer şekilde, [AD] ile [AC] kenarı arasındaki açı da \( \frac{\alpha}{2} \)'dir.

2. İki Açıortayın Kesişimi ile Oluşturduğu Açılar

Bir üçgende herhangi iki iç açıortay, üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir. Bu noktaya iç teğet çemberin merkezi (incenter) denir. Bu iki açıortayın kesişimiyle oluşan açılar, üçgenin açıları cinsinden ifade edilebilir.

Örneğin, ABC üçgeninde [AD] (A köşesinden) ve [BE] (B köşesinden) açıortaylarının kesişim noktası I olsun. I noktasındaki açıyı bulmak için şu formül kullanılır:

\( m(\widehat{AIB}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{C})}{2} \)

Yani, iki açıortayın kesişim noktasındaki açı, dik açıdan fazladır ve kesişmeyen üçüncü açının yarısı kadar eklenir.

3. Bir İç Açıortay ile Bir Dış Açıortayın Kesişimi

Bir iç açıortay ile bir dış açıortay, üçgenin dış bölgesinde kesişir. Bu kesişim noktasındaki açı, üçgenin üçüncü açısının yarısına eşittir.

ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortay ile B köşesinden çizilen dış açıortayın kesişim noktası K olsun. Bu durumda K noktasındaki açı için aşağıdaki formül geçerlidir:

\( m(\widehat{AKB}) = \frac{m(\widehat{C})}{2} \)

4. İki Dış Açıortayın Kesişimi

Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişir (dış teğet çemberin merkezi). İki dış açıortayın kesişim noktasındaki açı ise şu formülle bulunur:

\( m(\widehat{EKF}) = 90^\circ - \frac{m(\widehat{C})}{2} \)

Burada, iki dış açıortayın kesişim noktasındaki açı, dik açıdan eksiktir ve kesişmeyen üçüncü iç açının yarısı kadar çıkarılır.

Özetle: Açıortayların oluşturduğu açılar, temel olarak üçgenin orijinal açılarının yarısı ve 90 derece ile olan ilişkisi üzerinden tanımlanır. Bu ilişkileri formüle etmek, üçgenlerde açı hesabı