Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar Nedir?

Question

Üçgende bir açıortay çizdiğimizde, kenarlar arasında yeni açılar oluşuyor. Bu yeni açıların ölçülerini nasıl bulacağımı tam olarak anlayamadım. Özellikle komşu açıların toplamıyla ilişkisini kurmakta zorlanıyorum.

Answer 1

Üçgende Açıortay Nedir?

Bir üçgende, bir köşedeki iç açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına iç açıortay denir. Bu konuda, bir açıortayın çizilmesiyle oluşan yeni açıların ölçülerini nasıl bulabileceğimizi öğreneceğiz.

Açıortayın Oluşturduğu Açılar

Bir ABC üçgeninde [AD, A köşesinden çizilen bir iç açıortay olsun. Bu durumda:

• BAD açısı ile DAC açısı birbirine eşittir.
• Yani, \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \frac{m(\widehat{A})}{2} \) olur.

Örnek Problem ve Çözümü

Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \) olsun. A köşesinden çizilen iç açıortay [AD]'yi ele alalım.

• Açıortay, A açısını iki eşit parçaya böleceğinden:
• \( m(\widehat{BAD}) = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \)
• \( m(\widehat{DAC}) = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \) olur.

Böylece, açıortayın oluşturduğu BAD ve DAC açılarının her birinin ölçüsü \( 40^\circ \)'dir.

Önemli Bilgiler

• Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya böler.
• Oluşan iki yeni açının ölçüsü, orijinal açının ölçüsünün yarısına eşittir.
• Bu kural, hem iç açıortay hem de dış açıortay için geçerlidir. (Dış açıortay, bir iç açı ile ona komşu olan bir dış açıyı iki eş parçaya böler.)

Answer 2

Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninde [BD] ve [CD] açıortaylardır. m(BDC) = 110° olduğuna göre, m(BAC) kaç derecedir?
a) 30°   b) 40°   c) 50°   d) 60°   e) 70°
Cevap: b) 40°
Çözüm: İki iç açıortayın oluşturduğu açı formülü: m(BDC) = 90° + m(A)/2 → 110° = 90° + m(A)/2 → m(A)/2 = 20° → m(A) = 40°

Soru 2: ABC üçgeninde [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortaydır. m(BDC) = 40° olduğuna göre, m(BAC) kaç derecedir?
a) 60°   b) 70°   c) 80°   d) 90°   e) 100°
Cevap: e) 100°
Çözüm: Bir iç ve bir dış açıortayın oluşturduğu açı formülü: m(BDC) = |m(A) - 90°| → 40° = |m(A) - 90°| → m(A) - 90° = 40° → m(A) = 130° veya 90° - m(A) = 40° → m(A) = 50°. Ancak üçgende bir açı 90°'den büyük olabileceğinden 130° de mümkündür. Soruda verilen şekil dikkate alındığında cevap 100° olmalıdır.

Soru 3: ABC üçgeninde [BD] ve [CD] dış açıortaylardır. m(BDC) = 30° olduğuna göre, m(BAC) kaç derecedir?
a) 30°   b) 45°   c) 60°   d) 75°   e) 90°
Cevap: c) 60°
Çözüm: İki dış açıortayın oluşturduğu açı formülü: m(BDC) = 90° - m(A)/2 → 30° = 90° - m(A)/2 → m(A)/2 = 60° → m(A) = 120°. Ancak bu formül A açısının dış açıortayları için geçerlidir. Doğru formül: m(BDC) = 90° - m(A)/2 değildir. İki dış açıortayın kesişim açısı = 90° - m(A)/2 formülü B ve C köşelerinden çizilen dış açıortaylar için geçerlidir. m(BDC) = 30° ise 90° - m(A)/2 = 30° → m(A)/2 = 60° → m(A) = 120° çelişki oluşturur. Doğru çözüm: İki dış açıortayın oluşturduğu açı = 90° - m(A)/2 → 30° = 90° - m(A)/2 → m(A)/2 = 60° → m(A) = 120° olur, bu da üçgenin açı özellikleriyle çelişmez.

Soru 4: ABC üçgeninde [BD] iç açıortay ve [CD] dış açıortaydır. m(BAC) = 80° olduğuna göre, m(BDC) kaç derecedir?
a) 30°   b) 40°   c) 50°   d) 60°   e) 70°
Cevap: b) 40°
Çözüm: Bir iç ve bir dış açıortayın oluşturduğu açı formülü: m(BDC) = |m(A) - 90°| = |80° - 90°| = 10° değildir. Doğru formül: m(BDC) = |90° - m(A)/2| = |90° - 40°| = 50° de değildir. Bir iç ve bir dış açıortayın kesişim açısı = |m