10. Sınıf Üçgende Sinüslü Alan Formülü

Question

Bu formülü ne zaman kullanmam gerektiğini bazen karıştırıyorum. İki kenar ve arasındaki açı verildiğinde alanı bulabiliyorum ama hangi açının hangi kenarların arasında olduğunu kaçırınca sonuç yanlış çıkıyor.

Answer 1

Üçgende Sinüslü Alan Formülü

Bir üçgenin alanını hesaplamanın en bilinen yolu taban ile yüksekliği çarpıp ikiye bölmektir. Ancak bazen yüksekliği bilmeyiz veya hesaplamak zor olabilir. İşte bu noktada, iki kenarın uzunluğunu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsünü kullanan sinüslü alan formülü imdadımıza yetişir.

Formül

Kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) birim olan ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü \( \alpha \) derece olan bir üçgenin alanı:

\( Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \)

Formülde dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, sinüs değerinin alındığı açının, kullandığımız iki kenarın arasında kalan açı olmasıdır.

Formülün Mantığı

Klasik alan formülü \( \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} \) idi. Sinüslü formül aslında bu formülün bir türevidir.

• \( a \) kenarını taban olarak kabul edelim.
• \( b \) kenarının \( a \) kenarına indirdiği dikmenin yükseklik (\( h \)) olduğunu düşünelim.
• \( b \) kenarı ile \( a \) kenarı arasındaki açı \( \alpha \) ise, dik üçgenden \( \sin(\alpha) = \frac{h}{b} \) olur.
• Buradan yükseklik: \( h = b \cdot \sin(\alpha) \) bulunur.
• Klasik formülde yerine koyarsak: \( Alan = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \)

Gördüğünüz gibi, sinüs fonksiyonu bize yüksekliği bulmamızı sağlayarak işimizi kolaylaştırır.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: Kenar uzunlukları \( AB = 6 \) cm ve \( AC = 8 \) cm olan bir \( ABC \) üçgeninde \( \widehat{A} = 30^\circ \) ise, bu üçgenin alanı kaç \( cm^2 \) dir?

Çözüm:

• Verilen iki kenar: \( a = 8 \) cm, \( b = 6 \) cm
• Bu kenarların arasındaki açı: \( \alpha = 30^\circ \)
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
• Formülü uygulayalım: \( Alan = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \)
• İşlemleri sırayla yapalım: \( \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \\ 4 \cdot 6 = 24 \\ 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \)
• Sonuç: \( Alan = 12 \) \( cm^2 \)

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Hesap makinesi kullanırken açı biriminin (DEG) derece modunda olduğundan emin olun.
• Formülü herhangi iki kenar ve onların arasındaki açı için kullanabilirsiniz. Örneğin; \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) \) veya \( \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\gamma) \).
• Sinüs değeri \( 0^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında daima pozitiftir, bu nedenle alan hesabında her zaman pozitif bir sonuç elde edersiniz.

Answer 2

10. Sınıf Üçgende Sinüslü Alan Formülü Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve m(∠A) = 60° dir. Buna göre, bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 12√3   b) 24   c) 24√3   d) 36   e) 48
Cevap: c) 24√3
Çözüm: Sinüslü alan formülü: Alan(ABC) = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(∠A). Verilenleri yerine koyalım: (1/2) * 8 * 12 * sin60° = (1/2)*96*(√3/2) = 48*(√3/2) = 24√3 cm².

Soru 2: Alanı 18√2 cm² olan bir ikizkenar üçgenin eşit kenarlarından birinin uzunluğu 12 cm'dir. Eşit kenarlar arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
a) 30   b) 45   c) 60   d) 75   e) 90
Cevap: b) 45
Çözüm: Eşit kenarlar |AB| = |AC| = 12 cm ve aralarındaki açı ∠A olsun. Formül: Alan = (1/2)*12*12*sin(∠A) = 72*sin(∠A). Bu alan 18√2'ye eşit: 72*sin(∠A) = 18√2 → sin(∠A) = (18√2)/72 = √2/4. sin(∠A) = √2/4 ise ∠A = 45° olur.

Soru 3: Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 8 cm olan bir üçgenin 7 cm'lik kenarına ait yüksekliği bulmak için aşağıdaki adımlar izleniyor. İlk olarak üçgenin alanı sinüslü alan formülü ile hesaplanıyor. Buna göre, hangi iki kenar ve aralarındaki açı kullanılmalıdır?
a) 5 ve 8 - Aradaki açı   b) 5 ve 7 - Aradaki açı   c) 7 ve 8 - Aradaki açı   d) 5 ve 7 - 8 cm'nin karşısındaki açı   e) 5 ve 8 - 7 cm'nin karşısındaki açı
Cevap: e) 5 ve 8 - 7 cm'nin karşısındaki açı
Çözüm: 7 cm'lik kenara ait yüksekliği bulmak için önce üçgenin alanını hesaplamak gerekir. Alan, 7 cm'lik kenar ve o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Sinüslü alan formülünde ise alan, iki kenar ve aralarındaki açının sinüsü ile bulunur. 7 cm'lik kenarın karşısındaki açıyı (θ) kullanırsak, bu açı 5 cm ve 8 cm'lik kenarların arasındaki açıdır. Böylece Alan = (1/2)*5*8*sinθ hesaplanır ve bu alan (1/2)*7*h'ye eşitlenerek h yüksekliği bulunur.

Soru 4: Bir ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |BC| = 6 cm ve sin(∠B) = 0,8'dir. Buna göre, bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 12   b) 18   c) 24   d) 30   e) 48
Cevap: c) 24
Çözüm: ∠B, AB ve BC kenarlarının arasındaki açıdır. Sinüslü alan formülü: Alan(ABC) = (1/2) * |AB| * |BC| * sin(∠B). Verilen değerleri yerine koyalım: (1/2) * 10 * 6 * 0,8 = (1/2)*60*0,8 =