Üçgende yükseklik soruları

Question

Bu konuda bazı sorularda yüksekliği dışarıdan çizmek gerektiğinde zorlanıyorum. Hangi durumlarda yüksekliğin üçgenin dışında kaldığını karıştırıyorum. Ayrıca dik üçgenlerde zaten bir kenarın yükseklik olduğunu unutup fazladan işlem yapıyorum.

Answer 1

Üçgende Yükseklik Nedir?

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara (veya bu kenarın uzantısına) çizilen ve bu kenara dik olan doğru parçasına yükseklik denir. Her üçgenin üç tane yüksekliği vardır.

Yüksekliğin Özellikleri

• Dar açılı üçgenlerde tüm yükseklikler üçgenin iç bölgesindedir.
• Geniş açılı üçgenlerde ise bir kenara ait yükseklik üçgenin dışındadır.
• Dik üçgenlerde dik kenarlar aynı zamanda birbirlerinin yüksekliğidir.
• Bir üçgenin alanı, Alan = (Taban x Yükseklik) / 2 formülü ile hesaplanır.

Yükseklik Çeşitleri ve Çizimi

Üçgende yükseklik çizerken dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, çizginin dik olmasıdır.

• [AB] kenarına ait yükseklik: C köşesinden [AB] kenarına (veya uzantısına) dikme inilir.
• [BC] kenarına ait yükseklik: A köşesinden [BC] kenarına (veya uzantısına) dikme inilir.
• [AC] kenarına ait yükseklik: B köşesinden [AC] kenarına (veyu uzantısına) dikme inilir.

Çözümlü Örnek Soru

Soru: Taban uzunluğu 10 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Alan formülünü kullanırız:

\( Alan = \frac{Taban \times Yükseklik}{2} \)

\( Alan = \frac{10 \times 6}{2} \)

\( Alan = \frac{60}{2} = 30 \) cm²

Cevap: 30 cm²

Pratik Yapılacak Soru Tipleri

• Verilen bir üçgenin yüksekliklerini çizme.
• Yükseklik ve taban uzunluğu verilen bir üçgenin alanını bulma.
• Alanı ve bir kenarı verilen üçgende, o kenara ait yüksekliği bulma.
• İkizkenar veya eşkenar üçgenlerde yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortay olduğu için bu özellikleri kullanarak yüksekliği hesaplama.

Answer 2

Üçgende Yükseklik Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına çizilen yüksekliğin ayağı H noktasıdır. |AB| = 13 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 14 cm olduğuna göre, |AH| kaç cm'dir?
a) 10   b) 11   c) 12   d) 13   e) 14
Cevap: c) 12
Çözüm: Üçgenin alanını iki farklı şekilde hesaplayarak yüksekliği bulabiliriz. Önce Heron formülü ile alanı bulalım: u = (13+14+15)/2 = 21, Alan = √[21(21-13)(21-14)(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 cm². Alan aynı zamanda (taban×yükseklik)/2 formülüyle de bulunur: 84 = (14×|AH|)/2 ⇒ |AH| = 12 cm.

Soru 2: Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği kaç cm'dir?
a) 3,6   b) 4,2   c) 4,8   d) 5,2   e) 5,6
Cevap: c) 4,8
Çözüm: Pisagor teoremine göre hipotenüs = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 cm. Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik formülü: (dik kenarların çarpımı)/hipotenüs = (6×8)/10 = 48/10 = 4,8 cm.

Soru 3: Bir ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC], |BH| = 9 cm, |HC| = 16 cm ve |AH| = 12 cm'dir. Buna göre, |AC| kaç cm'dir?
a) 15   b) 18   c) 20   d) 24   e) 25
Cevap: c) 20
Çözüm: AHC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır: |AC|² = |AH|² + |HC|² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 ⇒ |AC| = √400 = 20 cm.