Üslü sayılarda çıkarma işlemi

Question

Üslü sayılarda toplama yaparken taban ve üs aynı değilse direk toplayamıyoruz ama çıkarma işleminde de aynı kural geçerli mi? Örneğin 2³ - 2² işlemini nasıl yapacağımı tam anlayamadım. Tabanları aynı yapmaya çalışmalı mıyım yoksa üsleri mi eşitlemeliyim?

Answer 1

# Üslü Sayılarda Çıkarma İşlemi - Ders Notu

📚 Üslü Sayılar ve Temel Kurallar

Üslü sayılar, matematikte tekrarlı çarpma işlemlerini ifade etmenin kısa ve etkili bir yoludur. Bir üs (kuvvet), tabanın kaç kez kendisiyle çarpılacağını gösterir. Örneğin, \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \).

➖ Üslü Sayılarda Çıkarma İşlemi Nasıl Yapılır?

Üslü sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için temel bir kuralı bilmek gerekir: Üslü sayılar sadece tabanları ve üsleri aynı ise birbirinden çıkarılabilir.

🔍 Kural 1: Taban ve Üs Aynı Olmalı

Eğer iki üslü ifadenin hem tabanları hem de üsleri aynı ise, katsayıları çıkarırız ve ortak üslü ifadeyi yazarız.

Matematiksel Formül: \( a \cdot x^n - b \cdot x^n = (a - b) \cdot x^n \)

Örnek 1: \( 5 \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^4 \)

• ✅ Tabanlar (3) ve üsler (4) aynı.
• Çözüm: \( (5 - 2) \cdot 3^4 = 3 \cdot 81 = 243 \)

Örnek 2: \( 7^2 - 4 \cdot 7^2 \)

• İkinci terim aslında \( 4 \cdot 7^2 \) şeklindedir. Katsayısı 4'tür.
• Çözüm: \( (1 - 4) \cdot 7^2 = (-3) \cdot 49 = -147 \)

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Önemli Durumlar

🚫 Kural 2: Taban veya Üs Farklı İse Doğrudan Çıkarma Yapılamaz

Eğer tabanlar veya üsler farklı ise, bu ifadeleri ortak bir forma getirmeden doğrudan çıkarma işlemi yapamayız.

Örnek 3: \( 2^5 - 2^3 \)

• ❌ Tabanlar aynı (2) ama üsler farklı (5 ve 3).
• Doğrudan çıkaramayız: \( 32 - 8 = 24 \) işlemi üslü ifadeleri önce hesaplayıp sonra çıkarmaktır, üslü ifadelerle çıkarma değildir.
• Bu bir üslü sayı çıkarma kuralı değil, normal işlem sırasıdır.

Örnek 4: \( 3^2 - 4^2 \)

• ❌ Üsler aynı (2) ama tabanlar farklı (3 ve 4).
• Doğrudan çıkaramayız: \( 9 - 16 = -7 \) (bu da normal sayısal çıkarmadır).

🎯 Pratik Yöntem: Sadeleştirme ve Hesaplama

Üslü ifadelerle çıkarma problemlerini çözerken şu adımları izleyin:

1. 📝 Kontrol Et: Taban ve üsler aynı mı?
2. ✏️ Katsayıları Belirle: Görünmeyen katsayı 1'dir (Ör: \( x^3 = 1 \cdot x^3 \)).
3. ➗ Katsayıları Çıkar: Katsayılar arasında çıkarma işlemi yap.
4. 📊 Ortak Üslü İfadeyi Yaz: Sonucu ortak üslü ifadeyle çarp.
5. 🧮 Hesapla: Gerekirse sayısal değeri bul.

📖 Özet Tablosu

• ✅ Yapılabilir: \( 5x^4 - 3x^4 = 2x^4 \)
• ❌ Yapılamaz (doğrudan): \( 5x^4 - 3x^2 \) veya \( 5x^4 - 3y^4 \)
• ➗ Alternatif: Farklı taban/üs durumunda önce her ifade ayrı ayrı hesaplanır, sonra çıkarma yapılır.

💡 Alıştırma Soruları

1. \( 8 \cdot 5^3 - 3 \cdot 5^3 = ? \)
2. \( 2^4 - 5 \cdot 2^4 = ? \)
3. \( 10 \cdot a^7 - a^7 = ? \) (a değişken)
4. \( 4^3 - 2^3 \) işlemini üslü ifade kurallarıyla açıklayın.

Matematik notu: Üslü sayılarda çıkarma, toplama işlemiyle aynı kurallara sahiptir. Bu kurallar, cebirsel ifadelerde benzer terimlerle işlem yapmanın temelini oluşturur. 🧠