📐 Vektörler: Temel Kavramlar ve İşlemler
Vektörler, fizikte ve mühendislikte sıklıkla karşılaşılan, yönü ve büyüklüğü olan matematiksel nesnelerdir. Birçok fiziksel nicelik (kuvvet, hız, ivme gibi) vektörlerle ifade edilir.
- 📏 Tanım: Vektör, bir başlangıç noktası ve bir bitiş noktası olan yönlendirilmiş bir doğru parçasıdır. Genellikle bir ok ile temsil edilir.
- ➕ Vektörel Nicelikler: Yönü ve büyüklüğü olan niceliklerdir. Örneğin, bir cisme uygulanan kuvvet, hem bir büyüklüğe (Newton cinsinden) hem de bir yöne sahiptir.
- ➖ Skaler Nicelikler: Sadece büyüklüğü olan niceliklerdir. Örneğin, sıcaklık, kütle ve zaman skalerdir.
🧭 Vektörlerin Gösterimi
Vektörler, genellikle kalın harflerle (
v) veya üzerlerine ok işareti konularak ($\\vec{v}$ ) gösterilir. Bir vektörün büyüklüğü ise |
v| veya $||\\vec{v}||$ şeklinde gösterilir.
- 📍 Kartezyen Koordinatlarda Gösterim: İki boyutlu uzayda bir vektör, (x, y) koordinatları ile ifade edilebilir. Üç boyutlu uzayda ise (x, y, z) koordinatları kullanılır.
- 🧭 Birim Vektörler: Büyüklüğü 1 olan vektörlerdir. Kartezyen koordinat sisteminde, x ekseni boyunca olan birim vektör $\\hat{\\imath}$, y ekseni boyunca olan birim vektör $\\hat{\\jmath}$ ve z ekseni boyunca olan birim vektör $\\hat{k}$ ile gösterilir.
- 📝 Vektörün Bileşenleri: Bir vektör, koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerine ayrılabilir. Bu izdüşümler, vektörün bileşenlerini oluşturur. Örneğin, $\\vec{v} = v_x \\hat{\\imath} + v_y \\hat{\\jmath} + v_z \\hat{k}$ şeklinde ifade edilebilir.
➕ Vektörlerle İşlemler
Vektörler üzerinde toplama, çıkarma, skalerle çarpma ve iç çarpım (nokta çarpımı) gibi çeşitli işlemler yapılabilir.
- ➕ Vektör Toplama: İki vektörün toplamı, bileşenlerinin ayrı ayrı toplanmasıyla bulunur. Eğer $\\vec{a} = (a_x, a_y)$ ve $\\vec{b} = (b_x, b_y)$ ise, $\\vec{a} + \\vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$ olur.
- ➖ Vektör Çıkarma: İki vektörün farkı, bileşenlerinin ayrı ayrı çıkarılmasıyla bulunur. Eğer $\\vec{a} = (a_x, a_y)$ ve $\\vec{b} = (b_x, b_y)$ ise, $\\vec{a} - \\vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y)$ olur.
- ✖️ Skalerle Çarpma: Bir vektörün bir skalerle çarpımı, vektörün her bir bileşeninin skalerle çarpılmasıyla bulunur. Eğer $\\vec{a} = (a_x, a_y)$ ve k bir skaler ise, $k \\vec{a} = (k a_x, k a_y)$ olur.
- ⚫ İç Çarpım (Nokta Çarpımı): İki vektörün iç çarpımı, bir skaler değerdir. Eğer $\\vec{a} = (a_x, a_y)$ ve $\\vec{b} = (b_x, b_y)$ ise, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$ olur. İç çarpım ayrıca, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| |\\vec{b}| cos(\\theta)$ şeklinde de hesaplanabilir, burada $\\theta$, $\\vec{a}$ ve $\\vec{b}$ arasındaki açıdır.
- ❌ Vektörel Çarpım (Çapraz Çarpım): İki vektörün vektörel çarpımı, yeni bir vektör oluşturur. Bu yeni vektör, her iki vektöre de diktir. Vektörel çarpımın büyüklüğü $|\\vec{a} \\times \\vec{b}| = |\\vec{a}| |\\vec{b}| sin(\\theta)$ şeklinde hesaplanır.
❓ Örnek Soru ve Çözümü
$\\vec{A} = 2\\hat{\\imath} + 3\\hat{\\jmath}$ ve $\\vec{B} = -1\\hat{\\imath} + 2\\hat{\\jmath}$ vektörleri veriliyor. Buna göre $\\vec{A} + \\vec{B}$ ve $\\vec{A} \\cdot \\vec{B}$ değerlerini bulunuz.
- ➕ Çözüm:
- $\\vec{A} + \\vec{B} = (2 + (-1))\\hat{\\imath} + (3 + 2)\\hat{\\jmath} = 1\\hat{\\imath} + 5\\hat{\\jmath}$
- $\\vec{A} \\cdot \\vec{B} = (2)(-1) + (3)(2) = -2 + 6 = 4$
