📐 Bir Vektörün Skaler ile Çarpımı
Bu konuda, bir vektörün bir skaler (gerçek sayı) ile nasıl çarpıldığını öğreneceğiz. Bu işlem, vektörlerin büyüklüğünü ve/veya yönünü değiştirmemizi sağlar.
🎯 Tanım
Bir \( \vec{a} \) vektörünün bir \( k \) skaleri (reel sayı) ile çarpımı, yeni bir vektör verir. Bu yeni vektör, \( k\vec{a} \) şeklinde gösterilir.
➗ Çarpımın Bileşenlere Etkisi
Eğer vektörümüz bileşenleriyle verilmişse, skaler ile çarpma işlemi her bir bileşen ayrı ayrı çarpılarak yapılır.
- 📌 2-Boyutlu uzayda: \( \vec{a} = (a_x, a_y) \) ise, \( k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y) \)
- 📌 3-Boyutlu uzayda: \( \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \) ise, \( k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z) \)
📏 Sonuç Vektörünün Özellikleri
Skaler ile çarpma işlemi, orijinal vektörün iki temel özelliğini etkiler:
- ✅ Büyüklük (Uzunluk): Yeni vektörün büyüklüğü, orijinal vektörün büyüklüğünün \( |k| \) katıdır.
\( ||k\vec{a}|| = |k| \cdot ||\vec{a}|| \)
- 🧭 Yön:
- Eğer \( k > 0 \) ise, \( k\vec{a} \) vektörü \( \vec{a} \) ile aynı yöndedir.
- Eğer \( k < 0 \) ise, \( k\vec{a} \) vektörü \( \vec{a} \) ile zıt yöndedir.
- Eğer \( k = 0 \) ise, sonuç sıfır vektörüdür (\( \vec{0} \)).
✍️ Örnek
\( \vec{v} = (4, -2) \) vektörünü ve \( k = 3 \) skalerini ele alalım.
- 💡 \( k\vec{v} = 3 \cdot (4, -2) = (3 \cdot 4, 3 \cdot (-2)) = (12, -6) \)
Orijinal vektör \( \vec{v} \) ve yeni vektör \( 3\vec{v} \) aynı yöndedir (çünkü k>0) ve yeni vektörün büyüklüğü orijinalin 3 katıdır.
🔢 İşlemin Özellikleri
Skaler ile vektör çarpımının bazı cebirsel özellikleri şunlardır:
- 📌 Dağılma Özelliği: \( k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \)
- 📌 Dağılma Özelliği (Skaler Toplamı): \( (k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a} \)
- 📌 Birleşme Özelliği: \( k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} \)
- 📌 1 Etkisiz Eleman: \( 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \)
🌍 Gerçek Hayat Bağlantısı
Bu işlem, fizikte ve mühendislikte sıkça karşımıza çıkar. Örneğin:
- 🚗 Bir arabanın hız vektörünü 2 ile çarpmak, onun hızını iki katına çıkarmak anlamına gelir.
- ⚖️ Bir kuvvet vektörünü -1 ile çarpmak, o kuvvetin yönünü tersine çevirir.
