Vektörlerde çıkarma işlemi nasıl yapılır

Question

Vektörlerde çıkarma işlemini toplama işlemi gibi düşünüyorum ama tam olarak nasıl olduğunu karıştırıyorum. İkinci vektörü ters çevirip birinci vektörle uç uca eklememiz gerektiğini biliyorum ama bunu koordinatlı sorularda nasıl uygulayacağımı tam anlayamadım.

Answer 1

📐 Vektörlerde Çıkarma İşlemi

Vektörlerde çıkarma işlemi, aslında toplama işleminin özel bir hali olarak düşünülebilir. İki vektörü çıkarmak için, ikinci vektörün yönünü ters çevirip (yani negatifini alıp) birinci vektörle toplarız.

🎯 Temel Kural

İki vektörün farkı: \( \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \)

Burada \( -\vec{B} \), \( \vec{B} \) vektörünün zıt yönlüsü ve aynı büyüklükte olan vektördür.

➡️ Grafiksel Yöntemle Çıkarma

• ✏️ Adım 1: Başlangıç noktalarını aynı yere getir.
• ✏️ Adım 2: Çıkarılacak vektörün (\( \vec{B} \)) yönünü ters çevir (\( -\vec{B} \)).
• ✏️ Adım 3: \( \vec{A} \) ve \( -\vec{B} \) vektörlerini uç uca ekleme yöntemiyle topla.
• ✏️ Adım 4: İlk vektörün başlangıcından, son vektörün bitişine çizilen vektör, \( \vec{A} - \vec{B} \) fark vektörünü verir.

🧮 Bileşenleri Kullanarak Çıkarma

Vektörler bileşenleri cinsinden verilmişse çıkarma işlemi çok daha kolaydır. Bileşenler ayrı ayrı çıkarılır.

2 boyutlu düzlemde:

\( \vec{A} = (A_x, A_y) \) ve \( \vec{B} = (B_x, B_y) \) ise,

\( \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y) \)

3 boyutlu uzayda:

\( \vec{A} = (A_x, A_y, A_z) \) ve \( \vec{B} = (B_x, B_y, B_z) \) ise,

\( \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z) \)

📝 Örnek Problem

\( \vec{u} = (5, 2) \) ve \( \vec{v} = (3, 4) \) vektörleri verilsin. \( \vec{u} - \vec{v} \) vektörünü bulalım.

Çözüm:

Bileşenleri ayrı ayrı çıkarırız:

\( \vec{u} - \vec{v} = (5 - 3, 2 - 4) = (2, -2) \)

💡 Önemli Noktalar

• ✅ Vektör çıkarma işlemi değişme özelliğine sahip değildir. \( \vec{A} - \vec{B} \neq \vec{B} - \vec{A} \)
• ✅ Çıkarma işleminin sonucu da bir vektördür.
• ✅ İki vektörün fark vektörü, ikinci vektörün ucundan birinci vektörün ucuna çizilen vektördür.