Yarım açı (İki kat açı) formülleri

Question

Bu formülleri trigonometride sürekli görüyorum ama hangi durumda hangisini kullanacağımı karıştırıyorum. Özellikle sin²x ve cos²x'li versiyonları birbirine benziyor ve formüllerin nereden geldiğini tam anlayamadım.

Answer 1

# Yarım Açı (İki Kat Açı) Formülleri - Ders Notu

📐 Trigonometride Temel Bir Araç: Yarım ve İki Kat Açı Formülleri

Trigonometri dersinde, toplam-fark formüllerinden sonra karşımıza çıkan en önemli konulardan biri yarım açı ve iki kat açı formülleridir. Bu formüller, bir açının iki katının veya yarısının trigonometrik değerlerini, o açının değerleri cinsinden ifade etmemizi sağlar. İntegral, türev, denklem çözümü ve fizik problemlerinde sıklıkla kullanılırlar.

🎯 İki Kat Açı Formülleri

Bu formüller, toplam formüllerinde iki açıyı eşit alarak (\( \alpha = \beta \)) kolayca türetilebilir.

• 🟢 Sinüs için: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha \)
• 🔵 Kosinüs için: \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \)
• 🔴 Tanjant için: \( \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \)

Önemli Not: Kosinüs için iki kat açı formülünün iki alternatif hali daha vardır. Bunlar, temel özdeşlik (\( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)) kullanılarak elde edilir:

• \( \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 \)
• \( \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha \)

✂️ Yarım Açı Formülleri

İki kat açı formülleri, aslında yarım açı formüllerinin kaynağıdır. Kosinüsün alternatif formlarındaki \( \alpha \) yerine \( \frac{\alpha}{2} \) yazarak ve düzenleyerek yarım açı formüllerine ulaşırız.

• 🟣 Sinüs Karesi için: \( \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{2} \)
• 🟠 Kosinüs Karesi için: \( \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos\alpha}{2} \)
• 🟡 Tanjant Karesi için: \( \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} \)

Karekök Alma Uyarısı: Yarım açının kendisi (\( \sin(\frac{\alpha}{2}) \)) sorulduğunda, formülden karekök alınır. Bu durumda, açının bulunduğu bölgeye göre işaret (+ veya -) belirlenmelidir.

📝 Pratik Örnek ve Uygulama

Soru: \( \sin15^\circ \) değerini bulalım.

Çözüm: \( 15^\circ \), \( 30^\circ \)'nin yarısıdır. Yarım açı formülünü kullanalım:
\( \sin^2(15^\circ) = \sin^2\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = \frac{1 - \cos30^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \)
Karekök alırsak: \( \sin15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \). Bu ifade sadeleştirilebilir ve pozitif kök alınır (15° ilk bölgededir). Sonuç: \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) olarak bulunur.

💡 Hatırlatma ve Püf Noktaları

• ✅ İki kat açı formülleri, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmede çok güçlüdür.
• ✅ \( \cos(2\alpha) \) formülünün üç farklı şeklini, ifadedeki diğer terimlere göre akıllıca seçmek işinizi kolaylaştırır.
• ✅ Yarım açı formülleri, integral alma tekniklerinde (trigonometrik dönüşüm) sıkça karşınıza çıkacaktır.
• ⚠️ Formülleri ezberlemekten ziyade, birbirinden nasıl türetildiklerini anlamak kalıcı öğrenme sağlar.

Bu formüller, trigonometrik denklem ve eşitsizliklerin çözümünde, periyot ve grafik incelemelerinde temel taşlardır. Bol soru çözerek kullanım becerisi kazanmanız önemlidir.