Yeni Nesil Binom Dağılımı Soruları ve Çözümleri

Question

Binom dağılımı soruları çok zor geliyor. Özellikle yeni nesil soruları nasıl çözeceğimi bilemiyorum. Formülleri uygulamakta sıkıntı yaşıyorum.

Answer 1

🧪 Yeni Nesil Binom Dağılımı Nedir?

Binom dağılımı, birbirinden bağımsız ve aynı olasılığa sahip iki sonuçlu (başarı veya başarısızlık) denemelerin belirli sayıda tekrarı sonucunda elde edilen başarı sayısının olasılığını মডেলleyen bir olasılık dağılımıdır. Yeni nesil binom dağılımı soruları ise, bu temel kavramı daha karmaşık senaryolarla birleştirerek öğrencilerin problem çözme ve analitik düşünme becerilerini ölçmeyi hedefler.

🧬 Temel Kavramlar

• 🎲 Deneme (n): Bir olayın kaç kez tekrarlandığını ifade eder. Örneğin, bir zarın 6 kez atılması.
• 🎯 Başarı Olasılığı (p): Bir denemede istenen sonucun (başarı) gerçekleşme olasılığıdır. Örneğin, bir zarın tek sayı gelme olasılığı 1/2'dir.
• ❌ Başarısızlık Olasılığı (q): Bir denemede istenen sonucun gerçekleşmeme olasılığıdır. $q = 1 - p$
• 📊 Başarı Sayısı (k): n denemede kaç kez başarı elde edildiğini gösterir.

🧮 Binom Dağılımı Formülü

Bir binom dağılımında, $n$ denemede $k$ sayıda başarı elde etme olasılığı şu formülle hesaplanır:

$P(X = k) = {n \choose k} * p^k * q^(n-k)$

Burada, ${n \choose k}$ "n'in k'lı kombinasyonu" olarak adlandırılır ve şu şekilde hesaplanır:

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

💡 Örnek Sorular ve Çözümleri

📌 Soru 1:

Bir fabrikada üretilen ürünlerin %5'i defoludur. Rastgele seçilen 10 üründen tam olarak 2'sinin defolu olma olasılığı nedir?

Çözüm:

• 🔍 n (deneme sayısı): 10
• ✅ k (başarı sayısı): 2
• 🍀 p (başarı olasılığı): 0.05
• ⛔ q (başarısızlık olasılığı): 0.95

Formülü uygulayalım:

$P(X = 2) = {10 \choose 2} * (0.05)^2 * (0.95)^8$

$P(X = 2) = \frac{10!}{2!8!} * (0.0025) * (0.6634)$

$P(X = 2) = 45 * 0.0025 * 0.6634 \approx 0.0746$

Yani, olasılık yaklaşık olarak %7.46'dır.

❓ Soru 2:

Bir basketbol oyuncusunun serbest atışları %80 isabetlidir. Bu oyuncu 5 serbest atış yaptığında, en az 4'ünü isabet ettirme olasılığı nedir?

Çözüm:

En az 4 isabet demek, 4 veya 5 isabet demektir. Bu nedenle, $P(X = 4)$ ve $P(X = 5)$ olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekir.

• 🏀 n (deneme sayısı): 5
• 🎯 p (başarı olasılığı): 0.8
• ❌ q (başarısızlık olasılığı): 0.2

Öncelikle $P(X = 4)$'ü hesaplayalım:

$P(X = 4) = {5 \choose 4} * (0.8)^4 * (0.2)^1$

$P(X = 4) = 5 * 0.4096 * 0.2 = 0.4096$

Şimdi $P(X = 5)$'i hesaplayalım:

$P(X = 5) = {5 \choose 5} * (0.8)^5 * (0.2)^0$

$P(X = 5) = 1 * 0.32768 * 1 = 0.32768$

Son olarak, bu iki olasılığı toplayalım:

$P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$

Yani, oyuncunun en az 4 atışını isabet ettirme olasılığı yaklaşık olarak %73.73'tür.

🤔 Soru 3:

Bir sınavda 20 çoktan seçmeli soru vardır ve her sorunun 5 seçeneği bulunmaktadır. Bir öğrenci rastgele cevaplar vererek en az 5 soruyu doğru cevaplama olasılığı nedir?

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için, en az 5 doğru cevap olasılığını ($P(X \geq 5)$) hesaplamamız gerekiyor. Bunu doğrudan hesaplamak yerine, tüm olasılıklardan (1) 0, 1, 2, 3 ve 4 doğru cevap olasılıklarını çıkararak bulabiliriz:

$P(X \geq 5) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)]$

• 📝 n (deneme sayısı): 20
• ✅ p (başarı olasılığı): 1/5 = 0.2
• ❌ q (başarısızlık olasılığı): 4/5 = 0.8

Şimdi her bir olasılığı hesaplayalım:

• $P(X = 0) = {20 \choose 0} * (0.2)^0 * (0.8)^{20} \approx 0.0115$
• $P(X = 1) = {20 \choose 1} * (0.2)^1 * (0.8)^{19} \approx 0.0576$
• $P(X = 2) = {20 \choose 2} * (0.2)^2 * (0.8)^{18} \approx 0.1369$
• $P(X = 3) = {20 \choose 3} * (0.2)^3 * (0.8)^{17} \approx 0.2054$
• $P(X = 4) = {20 \choose 4} * (0.2)^4 * (0.8)^{16} \approx 0.2182$

Şimdi toplamı bulalım:

$P(X \leq 4) \approx 0.0115 + 0.0576 + 0.1369 + 0.2054 + 0.2182 = 0.6296$

Son olarak, $P(X \geq 5)$'i hesaplayalım:

$P(X \geq 5) = 1 - 0.6296 \approx 0.3704$

Yani, öğrencinin en az 5 soruyu doğru cevaplama olasılığı yaklaşık olarak %37.04'tür.