Katı cisimler, günlük hayatta etrafımızda gördüğümüz birçok nesneyi kapsar: kutular, toplar, piramitler... Bazen bir cismi başka bir cismin içine yerleştirmek isteriz. İşte bu noktada, minimum hacim problemi devreye girer. Amacımız, belirli bir şekli, mümkün olan en küçük hacimli bir başka şeklin içine sığdırmaktır.
Bir kürenin bir küp içine yerleştirilmesi durumunda, kürenin çapı küpün bir kenarına eşit olmalıdır. Eğer kürenin yarıçapı $r$ ise, küpün bir kenarı $2r$ olur. Bu durumda, küpün hacmi $(2r)^3 = 8r^3$ olur.
Bir küpün bir küre içine yerleştirilmesi durumunda, küpün köşegen uzunluğu kürenin çapına eşit olmalıdır. Eğer küpün bir kenarı $a$ ise, köşegen uzunluğu $a\sqrt{3}$ olur. Bu durumda, kürenin yarıçapı $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ olur ve kürenin hacmi $\frac{4}{3}\pi (\frac{a\sqrt{3}}{2})^3$ olur.
Bir silindirin bir prizma içine yerleştirilmesi durumunda, silindirin taban dairesinin çapı prizmanın taban kenarına eşit olmalıdır. Silindirin yüksekliği de prizmanın yüksekliğine eşit olmalıdır. Bu durumda, silindirin hacmi $\pi r^2 h$ olurken, prizmanın hacmi taban alanı çarpı yükseklik olur.
Soru: Bir kenarı 4 cm olan bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç $\pi$ cm³'tür?
Çözüm: Kürenin çapı küpün bir kenarına eşit olacağından, kürenin yarıçapı $r = 2$ cm olur. Kürenin hacmi ise:
$$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{32}{3} \pi$$
Bu durumda cevap $\frac{32}{3}$'tür.
