Bazı (∃) niceleyicisi (Varlıksal niceleyici) Test 2

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi veriliyor. "∃x ∈ A, x > 3" önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Önerme yanlıştır çünkü 3'ten büyük eleman yoktur
B) Önerme doğrudur çünkü 3'ten büyük en az bir eleman vardır
C) Önerme yanlıştır çünkü tüm elemanlar 3'ten büyüktür
D) Önerme doğrudur çünkü tüm elemanlar 3'ten büyüktür

Bu soruda, verilen bir küme ve bir mantık önermesi arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.

• 1. Verilen Kümeyi Anlayalım:

  Bize verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir. Bu küme, 1'den 5'e kadar olan doğal sayıları içermektedir.

• 2. Verilen Önermeyi Çözümleyelim:

  Önerme "$\exists x \in A, x > 3$" şeklindedir. Bu önermeyi parçalara ayıralım:

  • "$\exists$" sembolü, "en az bir" veya "vardır ki" anlamına gelen varlıksal niceleyicidir. Bu, kümede belirtilen koşulu sağlayan en az bir eleman bulmamızın yeterli olduğu anlamına gelir.

  • "$x \in A$" ifadesi, $x$'in $A$ kümesinin bir elemanı olduğunu belirtir.

  • "$x > 3$" ifadesi, $x$'in 3'ten büyük olması gerektiğini belirten koşuldur.

  Yani, önermenin tamamı "A kümesinde, 3'ten büyük olan en az bir $x$ elemanı vardır." anlamına gelmektedir.

• 3. Önermenin Doğruluğunu Test Edelim:

  $A$ kümesindeki her elemanı tek tek inceleyerek $x > 3$ koşulunu sağlayıp sağlamadıklarına bakalım:

  • $1 \in A$: $1 > 3$ yanlıştır.

  • $2 \in A$: $2 > 3$ yanlıştır.

  • $3 \in A$: $3 > 3$ yanlıştır.

  • $4 \in A$: $4 > 3$ doğrudur!

  • $5 \in A$: $5 > 3$ doğrudur!

  Önermenin "en az bir" eleman koşulunu sağladığını gördük. $A$ kümesinde 3'ten büyük olan $4$ ve $5$ elemanları bulunmaktadır. Bu elemanlardan sadece bir tanesinin bile var olması, önermenin doğru olması için yeterlidir.

• 4. Seçenekleri Değerlendirelim:

  • A) Önerme yanlıştır çünkü 3'ten büyük eleman yoktur: Bu ifade yanlıştır çünkü $4$ ve $5$ elemanları 3'ten büyüktür.

  • B) Önerme doğrudur çünkü 3'ten büyük en az bir eleman vardır: Bu ifade doğrudur. $4$ ve $5$ elemanları bu koşulu sağlamaktadır.

  • C) Önerme yanlıştır çünkü tüm elemanlar 3'ten büyüktür: Bu ifade yanlıştır. Hem önerme doğru hem de tüm elemanlar 3'ten büyük değildir ($1, 2, 3$ elemanları 3'ten büyük değildir).

  • D) Önerme doğrudur çünkü tüm elemanlar 3'ten büyüktür: Bu ifade yanlıştır. Önerme doğru olsa da, bunun nedeni tüm elemanların 3'ten büyük olması değil, sadece en az bir elemanın 3'ten büyük olmasıdır. ($1, 2, 3$ elemanları 3'ten büyük değildir).

Yukarıdaki değerlendirmeler sonucunda, önermenin doğru olduğunu ve bunun nedeninin 3'ten büyük en az bir elemanın kümede bulunması olduğunu anlıyoruz.

Cevap B seçeneğidir.