Bazı (∃) niceleyicisi (Varlıksal niceleyici) Test 2

C = {2, 4, 6, 8, 10} kümesi veriliyor. "∃x ∈ C, x asal sayıdır" önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Önerme doğrudur çünkü 2 asal sayıdır
B) Önerme yanlıştır çünkü hiç asal sayı yoktur
C) Önerme doğrudur çünkü tüm sayılar asaldır
D) Önerme yanlıştır çünkü sadece bir tane asal sayı vardır

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyerek çözelim.

• Öncelikle, bize verilen kümeyi ve önermeyi anlayalım.
• C kümesi: $C = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ olarak verilmiş. Bu küme, $2$'den $10$'a kadar olan çift doğal sayıları içeriyor.
• Önerme: "$\exists x \in C, x$ asal sayıdır" şeklinde ifade edilmiş.
• Buradaki "$\exists$" sembolü, matematikte "en az bir tane vardır" veya "bazı" anlamına gelen varlıksal niceleyicidir.
• "$\exists x \in C$" ifadesi, "C kümesinde en az bir tane $x$ elemanı vardır" demektir.
• "x asal sayıdır" ifadesi ise, $x$ elemanının asal sayı olma özelliğini belirtir.
• Öyleyse, önermenin tamamı "C kümesinde en az bir tane asal sayı vardır" anlamına gelmektedir.
• Şimdi, C kümesinin elemanlarını tek tek inceleyerek hangilerinin asal sayı olduğunu bulalım. Hatırlayalım: Asal sayılar, $1$'den büyük olan ve kendisinden ve $1$'den başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen sayılardır.
• $2$: Sadece $1$ ve $2$'ye bölünür. Evet, $2$ bir asal sayıdır. Aynı zamanda en küçük asal sayıdır ve çift olan tek asal sayıdır.
• $4$: $1, 2, 4$'e bölünür. $2$'ye bölündüğü için asal sayı değildir.
• $6$: $1, 2, 3, 6$'ya bölünür. $2$ ve $3$'e bölündüğü için asal sayı değildir.
• $8$: $1, 2, 4, 8$'e bölünür. $2$ ve $4$'e bölündüğü için asal sayı değildir.
• $10$: $1, 2, 5, 10$'a bölünür. $2$ ve $5$'e bölündüğü için asal sayı değildir.
• Gördüğümüz gibi, C kümesindeki elemanlardan $2$ asal sayıdır. Önermemiz "C kümesinde en az bir tane asal sayı vardır" dediği için ve biz de $2$ sayısını bulduğumuz için bu önerme doğrudur.
• Şimdi seçenekleri inceleyelim:
• A) Önerme doğrudur çünkü 2 asal sayıdır. Bu ifade, bizim yaptığımız analizle tamamen uyuşmaktadır.
• B) Önerme yanlıştır çünkü hiç asal sayı yoktur. Bu yanlıştır, çünkü $2$ asal sayıdır.
• C) Önerme doğrudur çünkü tüm sayılar asaldır. Bu yanlıştır, çünkü $4, 6, 8, 10$ asal sayı değildir.
• D) Önerme yanlıştır çünkü sadece bir tane asal sayı vardır. Bu ifade önermenin doğruluğunu etkilemez. Önerme "en az bir tane" dediği için, bir tane bile olsa önerme doğru olur. Bu nedenle önerme doğru olduğu için bu seçenek yanlıştır.

Cevap A seçeneğidir.