D = {1, 3, 5, 7, 9} kümesi veriliyor. "∃x ∈ D, x çift sayıdır" önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Önerme doğrudur çünkü 2 çift sayıdırSevgili öğrenciler, bu soruda bize bir küme ve bir önerme verilmiş. Önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
Bize verilen küme $D = \{1, 3, 5, 7, 9\}$'dur. Bu küme sadece tek sayılardan oluşmaktadır.
Verilen önerme ise "$\exists x \in D, x$ çift sayıdır" şeklindedir.
"$\exists$" sembolü, "en az bir tane vardır" veya "bazı" anlamına gelen varoluşsal niceleyicidir. Bu sembol, bir özelliğe sahip en az bir elemanın varlığını ifade eder.
"$\in D$" ifadesi, "D kümesinin bir elemanıdır" demektir.
"x çift sayıdır" ifadesi ise, x'in 2 ile kalansız bölünebilen bir sayı olması gerektiğini belirtir.
Yani önerme, "D kümesinde en az bir tane çift sayı vardır" anlamına gelmektedir. Bu önermenin doğru olabilmesi için, D kümesinde sadece bir tane bile olsa çift sayı bulmamız yeterlidir.
Şimdi D kümesinin elemanlarına tek tek bakalım ve hangilerinin çift sayı olup olmadığını kontrol edelim:
$1$: Tek sayıdır (2'ye bölünmez).
$3$: Tek sayıdır (2'ye bölünmez).
$5$: Tek sayıdır (2'ye bölünmez).
$7$: Tek sayıdır (2'ye bölünmez).
$9$: Tek sayıdır (2'ye bölünmez).
Gördüğümüz gibi, D kümesindeki elemanların hiçbiri çift sayı değildir. Hepsi tek sayıdır.
Önermemiz "D kümesinde en az bir tane çift sayı vardır" diyordu. Ancak biz D kümesinde hiç çift sayı bulamadık. Kümedeki tüm elemanlar tek sayıdır.
Bu durumda, önerme yanlıştır. Çünkü önermenin doğru olması için D kümesinde en az bir tane çift sayı olması gerekirdi, fakat böyle bir eleman yoktur.
Şimdi bulduğumuz bu bilgi ışığında seçenekleri inceleyelim:
A) Önerme doğrudur çünkü 2 çift sayıdır: Bu seçenek yanlıştır. Çünkü önerme yanlış bir önermedir. Ayrıca 2 sayısı D kümesinin bir elemanı değildir, dolayısıyla önermenin doğruluğunu veya yanlışlığını etkilemez.
B) Önerme yanlıştır çünkü kümede çift sayı yoktur: Bu seçenek doğrudur. Bizim analizimizle tamamen uyuşmaktadır. Önerme yanlıştır ve bunun nedeni D kümesinde hiçbir çift sayı bulunmamasıdır.
C) Önerme doğrudur çünkü tüm sayılar çifttir: Bu seçenek yanlıştır. Önerme yanlış olduğu gibi, D kümesindeki sayılar da tek sayılardır, çift değil.
D) Önerme doğrudur çünkü bazı sayılar çifttir: Bu seçenek yanlıştır. Önerme yanlış olduğu gibi, D kümesinde hiçbir çift sayı yoktur.
Bu analiz sonucunda, doğru seçeneğin B olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
