Bir bakteri populasyonunun zamana bağlı değişimi P(t) = log(t²-4t+3) fonksiyonu ile modellenmiştir. Bu fonksiyonun tanımlı olduğu t değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) t > 3Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir bakteri popülasyonunun zamana bağlı değişimini gösteren bir fonksiyonun tanımlı olduğu $t$ değerlerini bulacağız. Yani, fonksiyonun tanım kümesini belirleyeceğiz.
Bize verilen fonksiyon $P(t) = \log(t^2-4t+3)$ şeklindedir. Bu bir logaritma fonksiyonudur. Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için belirli bir kural vardır.
Bir $\log(x)$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içindeki ifadenin (argümanının) kesinlikle pozitif olması gerekir. Yani, $x > 0$ olmalıdır. Eğer $x$ sıfır veya negatif olursa, logaritma tanımsız olur.
Bizim fonksiyonumuzda logaritmanın içindeki ifade $t^2-4t+3$'tür. Bu kurala göre, bu ifadenin pozitif olması gerekir:
$t^2-4t+3 > 0$
Şimdi $t^2-4t+3 > 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Bunun için önce $t^2-4t+3 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz:
Çarpımları $+3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-1$ ve $-3$'tür.
Yani, $(t-1)(t-3) = 0$ olur.
Bu denklemin kökleri $t_1 = 1$ ve $t_2 = 3$'tür.
Şimdi, $t^2-4t+3$ ifadesinin işaretini inceleyelim. Bu bir parabol denklemi olup, $t^2$'nin katsayısı ($1$) pozitif olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur. Kökler $1$ ve $3$'tür.
Parabolün grafiğini düşündüğümüzde, ifade $t^2-4t+3$ pozitif değerler alır (yani grafik x-ekseninin üstünde kalır) köklerin dışında kalan bölgelerde. Yani:
Bu durumda, eşitsizliğin çözümü $t < 1$ veya $t > 3$ şeklindedir.
Bulduğumuz çözüm $t < 1$ veya $t > 3$ ifadesidir. Seçeneklere baktığımızda:
Bu nedenle, fonksiyonun tanımlı olduğu $t$ değerleri $t < 1$ veya $t > 3$ olmalıdır.
Cevap C seçeneğidir.
