Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi

Question

Logaritma fonksiyonunu tanımlayabilmek için tabandaki sayıyı ve logaritması alınacak ifadeyi doğru seçmem gerekiyor. Özellikle logaritmanın içinin her zaman sıfırdan büyük olması gerektiğini karıştırıyorum. Ayrıca tabanın 1'den farklı ve pozitif olma şartını da unutuyorum bazen.

Answer 1

📘 Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesi

Logaritma fonksiyonu, matematikte sıkça karşılaştığımız önemli fonksiyonlardan biridir. Ancak bu fonksiyonun her reel sayı için tanımlı olmadığını bilmek çok önemlidir. Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için iki temel koşulun sağlanması gerekir.

🔍 Tanım Koşulları

Bir \( \log_a{x} \) ifadesinin tanımlı olabilmesi için:

• ✅ Taban Koşulu: Taban olan \( a \) sayısı, 1'den farklı bir pozitif reel sayı olmalıdır. Yani \( a > 0 \) ve \( a \neq 1 \).
• ✅ Argument Koşulu: Logaritması alınan \( x \) sayısı her zaman pozitif olmalıdır. Yani \( x > 0 \).

🎯 Neden Bu Koşullar Gereklidir?

Bu kuralların neden gerekli olduğunu anlamak, konuyu kavramak açısından çok faydalıdır.

➡️ Taban Neden 1 Olamaz?

\( \log_1{x} \) ifadesini düşünelim. \( 1^y = 1 \) olduğu için, hangi \( y \) değerini seçersek seçelim sonuç her zaman 1 olur. Bu, bize tek bir sonuç vermez ve bir fonksiyon tanımlanamaz.

➡️ Taban Neden Negatif Olamaz?

Örneğin, \( \log_{-2}{8} \) ifadesini ele alalım. \( (-2)^3 = -8 \) ve \( (-2)^4 = 16 \) olduğundan, 8'i elde edebileceğimiz bir tam sayı üssü yoktur. Bu durum, tanım kümesinde süreksizliklere ve tutarsızlıklara yol açar.

➡️ Argument Neden Pozitif Olmalı?

Logaritma, üstel fonksiyonun tersi olduğu için, \( a^y = x \) denkleminin çözümüdür. Bir pozitif sayının (\( a > 0 \)) herhangi bir kuvveti (\( a^y \)) her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, \( x \) de her zaman pozitif olmak zorundadır.

📝 Örneklerle Tanım Kümesi Bulma

Bir logaritmik fonksiyonun tanım kümesini bulmak için sadece "argument > 0" koşulunu çözmemiz yeterlidir.

💡 Örnek 1:

\( f(x) = \log_5{(x - 2)} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.

• Argument: \( x - 2 \)
• Koşul: \( x - 2 > 0 \)
• Çözüm: \( x > 2 \)

Sonuç olarak, Tanım Kümesi = \( \{ x | x > 2 \} \)** veya aralık gösterimiyle \( (2, \infty) \)'dir.

💡 Örnek 2:

\( g(x) = \ln{(x^2 - 4)} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. (Not: \( \ln \), tabanı \( e \) olan doğal logaritmadır.)

• Argument: \( x^2 - 4 \)
• Koşul: \( x^2 - 4 > 0 \)

Bu eşitsizliği çözmek için önce denklemi sıfıra eşitleriz: \( x^2 - 4 = 0 \). Buradan \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) bulunur.

İşaret tablosu veya grafik yardımıyla, \( x^2 - 4 \) ifadesinin \( (-\infty, -2) \) ve \( (2, \infty) \) aralıklarında pozitif olduğunu görürüz.

Sonuç olarak, Tanım Kümesi = \( \{ x | x < -2 \quad \text{veya} \quad x > 2 \} \)** veya \( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \)'dir.

📌 Özet

• 🔹 Logaritma fonksiyonu, yalnızca argumenti pozitif olduğunda tanımlıdır.
• 🔹 Taban, 1'den farklı bir pozitif sayı olmalıdır.
• 🔹 Tanım kümesini bulmak için, logaritmanın içindeki ifadeyi sıfırdan büyük kabul edip çözmek yeterlidir.