Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi Test 2

log₂(16-4x) ifadesinin tanımlı olması için x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugünkü dersimizde, logaritma fonksiyonlarının ne zaman tanımlı olduğunu ve bu bilgiyi kullanarak bir bilinmeyenin alabileceği değerleri nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Hazırsanız, sorumuza geçelim!

Soru: $\log_2(16-4x)$ ifadesinin tanımlı olması için $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

• Adım 1: Logaritma Tanımını Hatırlayalım

  Bir $\log_b(a)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için iki temel şart vardır:

  • Taban ($b$) pozitif olmalı ve $1$'e eşit olmamalıdır. Yani, $b > 0$ ve $b \neq 1$.
  • Logaritması alınan sayı (argüman $a$) kesinlikle pozitif olmalıdır. Yani, $a > 0$.

  Bu şartlar, logaritmanın matematiksel dünyadaki varlığını garantiler.

• Adım 2: İfadeyi İnceleyelim ve Şartları Uygulayalım

  Bize verilen ifade $\log_2(16-4x)$ şeklindedir.

  • Taban ($b$): Burada taban $2$'dir. $2 > 0$ ve $2 \neq 1$ şartlarını sağlar. Dolayısıyla tabandan dolayı $x$ için herhangi bir kısıtlama gelmez.
  • Argüman ($a$): Logaritması alınan sayı $16-4x$'tir. Bu ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekir. Yani, $16-4x > 0$ olmalıdır.

  İşte $x$'in alabileceği değerleri belirleyecek olan eşitsizlik bu!

• Adım 3: Eşitsizliği Çözelim

  Şimdi $16-4x > 0$ eşitsizliğini $x$ için çözelim:

  • Eşitsizliğin her iki tarafına $4x$ ekleyelim (veya $-4x$'i karşıya atalım):
  • $16 > 4x$
  • Şimdi eşitsizliğin her iki tarafını $4$'e bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
  • $\frac{16}{4} > \frac{4x}{4}$
  • $4 > x$
  • Bu, $x < 4$ anlamına gelir.

  Yani, $x$ sayısı $4$'ten küçük olmalıdır.

• Adım 4: $x$'in Alabileceği En Büyük Tam Sayı Değerini Bulalım

  $x < 4$ eşitsizliğini sağlayan tam sayılar nelerdir? Bunlar $3, 2, 1, 0, -1, \dots$ şeklinde devam eder.

  Bu tam sayılar arasında en büyüğü $3$'tür.

Bu durumda, $\log_2(16-4x)$ ifadesinin tanımlı olması için $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri $3$'tür.

Cevap A seçeneğidir.