Bir fonksiyonun tanım kümesini bulurken, fonksiyonu oluşturan her bir parçanın kendi tanım kısıtlamalarını göz önünde bulundurmamız gerekir. Bu fonksiyon iki logaritmik ifadenin toplamından oluşmaktadır.
- Doğal Logaritma ($\ln$) İçin Kısıtlama: Bir doğal logaritma fonksiyonu olan $\ln(A)$'nın tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içindeki ifade ($A$) kesinlikle pozitif olmalıdır. Yani $A > 0$ olmalıdır.
- Fonksiyonumuzdaki ilk terim $\ln(x-2)$'dir. Bu terimin tanımlı olabilmesi için $x-2$ ifadesi 0'dan büyük olmalıdır.
- $x-2 > 0$ eşitsizliğini çözelim: Eşitsizliğin her iki tarafına 2 eklediğimizde $x > 2$ sonucunu elde ederiz.
- Onluk Logaritma ($\log$) İçin Kısıtlama: Bir onluk logaritma fonksiyonu olan $\log(B)$'nin (tabanı belirtilmeyen logaritma genellikle 10 tabanındadır) tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içindeki ifade ($B$) kesinlikle pozitif olmalıdır. Yani $B > 0$ olmalıdır.
- Fonksiyonumuzdaki ikinci terim $\log(7-x)$'tir. Bu terimin tanımlı olabilmesi için $7-x$ ifadesi 0'dan büyük olmalıdır.
- $7-x > 0$ eşitsizliğini çözelim: Eşitsizliğin her iki tarafına $x$ eklediğimizde $7 > x$ veya $x < 7$ sonucunu elde ederiz.
- Tanım Kümelerinin Kesişimi: Bir fonksiyon, birden fazla ifadenin toplamı veya farkı şeklinde verildiğinde, fonksiyonun genel tanım kümesi, her bir ifadenin kendi tanım kümelerinin kesişimi olacaktır. Yani, her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir.
- Bulduğumuz koşulları birleştirelim: $x > 2$ ve $x < 7$.
- Bu iki eşitsizliği bir araya getirdiğimizde, $x$ değeri 2'den büyük ve 7'den küçük olmalıdır. Bu durumu $2 < x < 7$ şeklinde ifade ederiz.
- Aralık gösterimiyle bu ifade $(2, 7)$ şeklinde yazılır. Bu, 2 ve 7 sayılarının aralığa dahil olmadığı anlamına gelir, çünkü eşitsizlikler "büyük" ve "küçük" (eşit değil) şeklindedir.
Cevap A seçeneğidir.
