Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi Test 2

Bir deprem ölçeğinde Richter büyüklüğü R = log(E/E₀) formülü ile hesaplanır. E enerji değeri pozitif olmak zorunda olduğuna göre, bu fonksiyonun tanım kümesi için ne söylenebilir?

A) E > 0
B) E ≥ 0
C) E > E₀
D) E ≥ E₀

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, Richter büyüklüğü formülü üzerinden bir fonksiyonun tanım kümesini (domain) bulmamız isteniyor. Fonksiyonun tanım kümesi, bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için bağımsız değişkenin alabileceği değerler kümesidir. Şimdi adım adım çözüme geçelim:

• 1. Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kuralını Hatırlayalım:

  Bir $\log(x)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içindeki ifadenin (yani $x$'in) kesinlikle pozitif olması gerekir. Yani $x > 0$ olmalıdır. $x$ sıfır veya negatif olamaz.

• 2. Formüldeki Logaritma İfadesini Belirleyelim:

  Bize verilen formül $R = \log(E/E_0)$ şeklindedir. Burada logaritmanın içindeki ifade $E/E_0$'dır.

• 3. Tanım Kuralını Formüle Uygulayalım:

  Logaritma tanımına göre, $E/E_0$ ifadesinin pozitif olması gerekir. Yani:

  $E/E_0 > 0$ olmalıdır.

• 4. $E_0$ Değerini Anlayalım:

  $E_0$ değeri, Richter ölçeğinde kullanılan sabit bir referans enerji değeridir. Bu değer, genellikle çok küçük bir depremin enerjisini temsil eder ve her zaman pozitif bir sayıdır. Örneğin, $E_0$ genellikle $10^{4.4}$ joule olarak kabul edilir. Dolayısıyla, $E_0 > 0$ olduğunu biliyoruz.

• 5. E İçin Koşulu Belirleyelim:

  Şimdi $E/E_0 > 0$ eşitsizliğini inceleyelim:

  • Bir kesrin pozitif olabilmesi için pay ve paydanın işaretleri aynı olmalıdır.
  • Biz $E_0 > 0$ olduğunu biliyoruz.
  • Bu durumda, $E/E_0 > 0$ eşitsizliğinin sağlanabilmesi için $E$'nin de pozitif olması gerekir. Yani $E > 0$ olmalıdır.
  • Eğer $E$ negatif olsaydı, pozitif bir $E_0$ ile bölümü negatif olurdu ve logaritma tanımsız olurdu.
  • Eğer $E$ sıfır olsaydı, $0/E_0 = 0$ olurdu ve $\log(0)$ tanımsızdır.

  Ayrıca, soruda da belirtildiği gibi "E enerji değeri pozitif olmak zorunda" ifadesi, $E > 0$ koşulunu zaten pekiştirmektedir.

• 6. Sonucu Değerlendirelim:

  Yukarıdaki adımlardan anlaşıldığı üzere, $R = \log(E/E_0)$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için $E$ değerinin kesinlikle pozitif olması gerekmektedir. Yani $E > 0$.

Cevap A seçeneğidir.