f(x) = log(|x-4|-2) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞, 2) ∪ (6, ∞)Merhaba sevgili öğrenciler! Bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak, o fonksiyonun hangi $x$ değerleri için tanımlı olduğunu belirlemek demektir. Özellikle logaritma fonksiyonlarında dikkat etmemiz gereken önemli kurallar vardır. Şimdi, $f(x) = \log(|x-4|-2)$ fonksiyonunun tanım kümesini adım adım bulalım.
Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kuralı: Bir $\log(A)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içindeki ifadenin (yani $A$'nın) kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir. Yani, $A > 0$ olmalıdır. Bu kuralı fonksiyonumuza uygulayalım.
Kuralı Fonksiyona Uygulama: Bizim fonksiyonumuzda logaritmanın içindeki ifade $|x-4|-2$'dir. O halde, bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir:
$|x-4|-2 > 0$
Eşitsizliği Düzenleme: Mutlak değer ifadesini yalnız bırakmak için $-2$'yi eşitsizliğin diğer tarafına atalım:
$|x-4| > 2$
Mutlak Değer Eşitsizliğini Çözme: $|u| > c$ şeklindeki bir mutlak değer eşitsizliğinin çözümü, $u < -c$ veya $u > c$ şeklindedir (burada $c$ pozitif bir sayıdır). Bizim durumumuzda $u = x-4$ ve $c = 2$'dir. Bu kuralı uygulayalım:
$x-4 < -2$ VEYA $x-4 > 2$
İlk Eşitsizliği Çözme: $x-4 < -2$ eşitsizliğini çözelim. $-4$'ü sağ tarafa atarsak:
$x < -2 + 4$
$x < 2$
İkinci Eşitsizliği Çözme: $x-4 > 2$ eşitsizliğini çözelim. $-4$'ü sağ tarafa atarsak:
$x > 2 + 4$
$x > 6$
Çözümleri Birleştirme: Elde ettiğimiz çözümleri birleştirdiğimizde, $x$ değerleri $2$'den küçük olmalı VEYA $6$'dan büyük olmalıdır. Bu durumu aralık notasyonuyla ifade edelim:
$(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$
Seçeneklerle Karşılaştırma: Bulduğumuz bu tanım kümesi, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
