Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, reel sayılar kümesinde tanımlanan dört farklı işlemden hangisinin birleşme (associative) özelliğine sahip olmadığını bulmamız isteniyor. Birleşme özelliği, bir $*$ işlemi için $(a * b) * c = a * (b * c)$ şeklinde ifade edilir. Yani, üç sayıyı belirli bir sıraya göre işleme soktuğumuzda, parantezlerin yerinin sonucu değiştirip değiştirmediğini kontrol edeceğiz.
-
Birleşme Özelliği Nedir?
Bir $*$ işlemi için, her $a, b, c \in \mathbb{R}$ için $(a * b) * c = a * (b * c)$ eşitliği sağlanıyorsa, bu işleme birleşme özelliği vardır denir.
-
A) $a * b = a + b$
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(a * b) * c = (a + b) * c = (a + b) + c$.
- Şimdi sağ tarafı hesaplayalım: $a * (b * c) = a * (b + c) = a + (b + c)$.
- Reel sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği olduğu için $(a + b) + c = a + (b + c)$ eşitliği her zaman doğrudur.
- Dolayısıyla, bu işlem birleşme özelliğine sahiptir.
-
B) $a * b = a \cdot b$
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(a * b) * c = (a \cdot b) * c = (a \cdot b) \cdot c$.
- Şimdi sağ tarafı hesaplayalım: $a * (b * c) = a * (b \cdot c) = a \cdot (b \cdot c)$.
- Reel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği olduğu için $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ eşitliği her zaman doğrudur.
- Dolayısıyla, bu işlem birleşme özelliğine sahiptir.
-
C) $a * b = a - b$
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(a * b) * c = (a - b) * c = (a - b) - c = a - b - c$.
- Şimdi sağ tarafı hesaplayalım: $a * (b * c) = a * (b - c) = a - (b - c) = a - b + c$.
- Birleşme özelliğinin sağlanması için $a - b - c = a - b + c$ olması gerekir.
- Bu eşitlikten $-c = c$ çıkar, bu da ancak $c = 0$ olduğunda doğrudur. Ancak birleşme özelliği her $a, b, c$ reel sayısı için geçerli olmalıdır. Örneğin, $c=1$ alırsak $-1 \neq 1$ olur.
- Örnekle gösterelim: $a=5, b=3, c=1$ alalım.
- $(5 * 3) * 1 = (5 - 3) * 1 = 2 * 1 = 2 - 1 = 1$.
- $5 * (3 * 1) = 5 * (3 - 1) = 5 * 2 = 5 - 2 = 3$.
- Gördüğünüz gibi $1 \neq 3$. Bu nedenle, çıkarma işlemi birleşme özelliğine sahip değildir.
-
D) $a * b = \max(a, b)$
- Bu işlem, verilen iki sayıdan büyük olanı seçmek anlamına gelir.
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(a * b) * c = \max(a, b) * c = \max(\max(a, b), c)$. Bu ifade, $a, b, c$ sayılarından en büyüğünü bulmak demektir.
- Şimdi sağ tarafı hesaplayalım: $a * (b * c) = a * \max(b, c) = \max(a, \max(b, c))$. Bu ifade de $a, b, c$ sayılarından en büyüğünü bulmak demektir.
- Her iki taraf da $a, b, c$ sayılarının en büyüğünü verdiğinden, $\max(\max(a, b), c) = \max(a, \max(b, c))$ eşitliği her zaman doğrudur.
- Örnekle gösterelim: $a=2, b=7, c=4$ alalım.
- $(2 * 7) * 4 = \max(2, 7) * 4 = 7 * 4 = \max(7, 4) = 7$.
- $2 * (7 * 4) = 2 * \max(7, 4) = 2 * 7 = \max(2, 7) = 7$.
- Dolayısıyla, bu işlem birleşme özelliğine sahiptir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, $a * b = a - b$ işleminin birleşme özelliğine sahip olmadığını açıkça görmüş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
