Boş küme her kümenin alt kümesi midir Test 2

Küme problemleri çözen bir öğrenci, evrensel küme U = {a, b, c} verildiğinde aşağıdaki kümeleri yazmıştır:
• ∅ ⊆ U
• ∅ ⊆ P(U)
• ∅ ⊆ {∅}
• ∅ ⊆ ∅
Buna göre öğrencinin yazdığı bu ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Küme problemlerinde sıkça karşılaştığımız ve bazen kafa karıştırıcı olabilen boş küme ($\emptyset$) ile ilgili bir soruyla karşı karşıyayız. Bu soruyu adım adım, temel kuralları hatırlayarak çözelim.

Öncelikle, kümelerde "alt küme" kavramını hatırlayalım:

• Bir $A$ kümesinin, bir $B$ kümesinin alt kümesi ($A \subseteq B$) olması demek, $A$ kümesindeki her elemanın aynı zamanda $B$ kümesinin de bir elemanı olması demektir.
• Bu tanımın çok önemli bir sonucu vardır: **Boş küme ($\emptyset$), her kümenin alt kümesidir.** Çünkü boş kümede hiçbir eleman bulunmadığından, $A$ kümesinde olup da $B$ kümesinde olmayan bir eleman bulmak imkansızdır. Bu duruma "boş küme özelliği" veya "vacuously true" denir.

Şimdi öğrencinin yazdığı ifadelere tek tek bakalım:

• 1. İfade: $\emptyset \subseteq U$
  • $U = \{a, b, c\}$ evrensel kümesi verilmiş.
  • Yukarıda belirttiğimiz gibi, boş küme her kümenin alt kümesidir. Dolayısıyla, boş küme $U$ kümesinin de alt kümesidir.
  • Bu ifade **DOĞRUDUR**.
• 2. İfade: $\emptyset \subseteq P(U)$
  • $P(U)$ ifadesi, $U$ kümesinin kuvvet kümesini (power set) temsil eder. Kuvvet kümesi, bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesidir.
  • $U = \{a, b, c\}$ olduğu için, $P(U)$ kümesi $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a, b, c\}$ elemanlarını içerir. Yani $P(U) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$'dir.
  • Boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için, $P(U)$ kümesinin de alt kümesidir.
  • Bu ifade **DOĞRUDUR**.
• 3. İfade: $\emptyset \subseteq \{\emptyset\}$
  • $\{\emptyset\}$ kümesi, elemanı sadece boş küme olan bir kümedir. Yani bu kümenin tek bir elemanı vardır ve o eleman da boş kümenin kendisidir.
  • Boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için, $\{\emptyset\}$ kümesinin de alt kümesidir.
  • Bu ifade **DOĞRUDUR**.
• 4. İfade: $\emptyset \subseteq \emptyset$
  • Her küme kendisinin bir alt kümesidir. Bu genel bir kuraldır.
  • Ayrıca, boş küme her kümenin alt kümesidir kuralı gereği, boş küme kendisinin de alt kümesidir.
  • Bu ifade **DOĞRUDUR**.

Gördüğümüz gibi, öğrencinin yazdığı dört ifadenin hepsi de doğrudur.

Cevap D seçeneğidir.