Bir doğrunun normal denklemi $\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - 2 = 0$ şeklinde veriliyor. Bu doğrunun orijine olan uzaklığı 2 birim olduğuna göre, doğrunun genel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $3x + 4y - 10 = 0$Bir doğrunun denklemleri farklı şekillerde ifade edilebilir. Bu soruda, doğrunun normal denklemi verilmiş ve bizden genel denklemini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Normal Denklemi Anlamak
Bir doğrunun normal denklemi genellikle $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ şeklinde ifade edilir. Burada $p$, doğrunun orijine (başlangıç noktasına) olan dik uzaklığıdır ve $\alpha$ ise orijinden doğruya çizilen dikmenin (normalin) pozitif x ekseniyle yaptığı açıdır.
Soruda bize verilen normal denklem: $\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - 2 = 0$.
Bu denklemi normal form ile karşılaştırdığımızda, $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ ve $p = 2$ olduğunu görürüz. Soruda da doğrunun orijine olan uzaklığının 2 birim olduğu belirtilmiştir, bu da normal denklemin doğru bir şekilde verildiğini teyit eder. Yani, verilen denklem zaten doğru bir normal denklemdir.
2. Adım: Genel Denkleme Dönüştürmek
Bir doğrunun genel denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklindedir. Bizim elimizde olan normal denklem zaten bir lineer denklemdir. Bu denklemi genel denkleme dönüştürmek için genellikle paydalardan kurtulur ve katsayıları tam sayı yaparız.
Verilen denklem: $\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - 2 = 0$
Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için tüm denklemi payda olan $5$ ile çarpalım. Unutmayın, bir denklemin her iki tarafını aynı sayıyla çarpmak denklemin eşitliğini bozmaz:
$5 \times \left( \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - 2 \right) = 5 \times 0$
Her terimi $5$ ile çarptığımızda:
$5 \times \frac{3}{5}x + 5 \times \frac{4}{5}y - 5 \times 2 = 0$
$3x + 4y - 10 = 0$
3. Adım: Sonucu Kontrol Etmek
Bulduğumuz genel denklem $3x + 4y - 10 = 0$ şeklindedir. Şimdi bu denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $3x + 4y - 10 = 0$
B) $3x + 4y - 8 = 0$
C) $3x + 4y - 6 = 0$
D) $3x + 4y - 4 = 0$
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
