Koordinat düzleminde A(1,2), B(5,2), C(7,5) ve D(3,5) noktaları veriliyor. ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 12ABCD dörtgeninin alanını bulmak için adım adım ilerleyelim:
Noktalar $A(1,2)$, $B(5,2)$, $C(7,5)$ ve $D(3,5)$ olarak verilmiştir.
Öncelikle kenarların paralel olup olmadığını ve uzunluklarını kontrol edelim:
AB kenarı: $A(1,2)$ ve $B(5,2)$ noktalarının $y$ koordinatları aynıdır ($y=2$). Bu, AB kenarının yatay olduğunu gösterir. Uzunluğu $B_x - A_x = 5 - 1 = 4$ birimdir.
DC kenarı: $D(3,5)$ ve $C(7,5)$ noktalarının $y$ koordinatları aynıdır ($y=5$). Bu, DC kenarının da yatay olduğunu gösterir. Uzunluğu $C_x - D_x = 7 - 3 = 4$ birimdir.
AB ve DC kenarları yatay olduğu için birbirine paraleldirler. Ayrıca uzunlukları da eşittir ($4$ birim).
Şimdi diğer kenarların eğimlerini kontrol edelim:
AD kenarının eğimi ($m_{AD}$): $m_{AD} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{5-2}{3-1} = \frac{3}{2}$.
BC kenarının eğimi ($m_{BC}$): $m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{5-2}{7-5} = \frac{3}{2}$.
AD ve BC kenarlarının eğimleri eşit olduğu için bu kenarlar da birbirine paraleldir.
Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olduğu için ABCD dörtgeni bir paralelkenardır.
Bir paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir: Alan = Taban $\times$ Yükseklik.
AB kenarını taban olarak alabiliriz. AB kenarının uzunluğunu 1. adımda $4$ birim olarak bulmuştuk.
Yükseklik ise paralel olan AB ve DC kenarları arasındaki dik uzaklıktır. AB kenarı $y=2$ doğrusu üzerinde, DC kenarı ise $y=5$ doğrusu üzerindedir.
Bu iki yatay doğru arasındaki dik uzaklık, $y$ koordinatlarının farkının mutlak değeri kadardır: Yükseklik $h = |5 - 2| = 3$ birimdir.
Paralelkenarın alanı = Taban $\times$ Yükseklik
Alan $= 4 \times 3 = 12$ birimkaredir.
Buna göre, ABCD dörtgeninin alanı $12$ birimkaredir.
Cevap A seçeneğidir.
