Koordinat düzleminde P(m+2, n-1) ve Q(3m-4, 2n+3) noktalarının orta noktası R(5,4) olduğuna göre, m⋅n çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün koordinat düzleminde iki noktanın orta noktasını kullanarak bilinmeyen değerleri bulma ve çarpımlarını hesaplama üzerine harika bir problem çözeceğiz. Bu tür problemler, analitik geometrinin temel taşlarından biridir ve dikkatli işlem yapmayı gerektirir.
Problemi Anlayalım:
- Bize $P(m+2, n-1)$ ve $Q(3m-4, 2n+3)$ olmak üzere iki nokta verilmiş.
- Bu iki noktanın orta noktası $R(5,4)$ olarak belirtilmiş.
- Bizden $m \cdot n$ çarpımını bulmamız isteniyor.
Orta Nokta Formülü:
- Koordinat düzleminde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ gibi iki noktanın orta noktası $M(x_M, y_M)$ şu formülle bulunur:
- $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
- $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
Şimdi bu formülü problemimizdeki noktalara uygulayarak $m$ ve $n$ değerlerini adım adım bulalım:
- 1. Adım: x-koordinatlarını kullanarak $m$ değerini bulalım.
- $P$ noktasının x-koordinatı: $x_1 = m+2$
- $Q$ noktasının x-koordinatı: $x_2 = 3m-4$
- $R$ noktasının x-koordinatı (orta nokta): $x_M = 5$
- Orta nokta formülünü uygulayalım: $5 = \frac{(m+2) + (3m-4)}{2}$
- Denklemi çözelim:
- $5 = \frac{4m-2}{2}$
- $5 = 2m-1$
- $5+1 = 2m$
- $6 = 2m$
- $m = \frac{6}{2}$
- $m = 3$
- 2. Adım: y-koordinatlarını kullanarak $n$ değerini bulalım.
- $P$ noktasının y-koordinatı: $y_1 = n-1$
- $Q$ noktasının y-koordinatı: $y_2 = 2n+3$
- $R$ noktasının y-koordinatı (orta nokta): $y_M = 4$
- Orta nokta formülünü uygulayalım: $4 = \frac{(n-1) + (2n+3)}{2}$
- Denklemi çözelim:
- $4 = \frac{3n+2}{2}$
- $4 \cdot 2 = 3n+2$
- $8 = 3n+2$
- $8-2 = 3n$
- $6 = 3n$
- $n = \frac{6}{3}$
- $n = 2$
- 3. Adım: $m \cdot n$ çarpımını hesaplayalım.
- $m = 3$ ve $n = 2$ değerlerini bulduk.
- Şimdi bu değerleri çarparak istenen sonucu bulalım: $m \cdot n = 3 \cdot 2 = 6$
Yaptığımız hesaplamalara göre $m \cdot n$ çarpımı $6$ olarak bulunmuştur.
Cevap D seçeneğidir.
