Orta nokta formülü Test 2

Bir doğru parçasının uç noktaları A(2,3) ve B(8,7) noktalarıdır. Bu doğru parçasını 3 eşit parçaya bölen noktalardan birinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4,5)
B) (4,13/3)
C) (6,17/3)
D) (5,6)

Bu soruda, bir doğru parçasını belirli oranlarda bölen noktanın koordinatlarını bulma bilgisini kullanacağız. Bir doğru parçasını 3 eşit parçaya bölmek demek, bu doğru parçasının üzerinde iki nokta bulmak demektir. Bu noktalar, doğru parçasını $1:2$ ve $2:1$ oranlarında böler.

• Adım 1: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim.

  Doğru parçasının uç noktaları $A(2,3)$ ve $B(8,7)$ olarak verilmiş. Bu doğru parçasını 3 eşit parçaya bölen noktalardan birinin koordinatlarını bulmamız isteniyor.

  Bir doğru parçasını 3 eşit parçaya bölen iki nokta vardır. Bu noktalardan ilki, A noktasından B noktasına doğru $1:2$ oranında böler. İkincisi ise $2:1$ oranında böler. Biz ilk noktayı bularak başlayacağız.

• Adım 2: Bölüm Formülünü Hatırlayalım.

  Bir $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında bölen $P(x,y)$ noktasının koordinatları şu formülle bulunur:

  $x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$

  $y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$

• Adım 3: İlk Bölme Noktasının Koordinatlarını Bulalım (1:2 oranı).

  A noktasından B noktasına doğru ilk bölme noktasını $P_1(x_{P1}, y_{P1})$ olarak adlandıralım. Bu nokta, doğru parçasını $1:2$ oranında böler. Yani $m=1$ ve $n=2$ alacağız.

  Verilen noktalar: $A(x_1, y_1) = (2,3)$ ve $B(x_2, y_2) = (8,7)$.

  $x_{P1}$ koordinatını hesaplayalım:

  $x_{P1} = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{1+2} = \frac{4 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4$

  $y_{P1}$ koordinatını hesaplayalım:

  $y_{P1} = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 7}{1+2} = \frac{6 + 7}{3} = \frac{13}{3}$

  Buna göre, ilk bölme noktasının koordinatları $P_1(4, \frac{13}{3})$'tür.

• Adım 4: Seçenekleri Kontrol Edelim.

  Bulduğumuz $P_1(4, \frac{13}{3})$ koordinatları, seçenekler arasında B seçeneğinde bulunmaktadır. Bu, soruda istenen "birinin koordinatları" ifadesine uyan bir cevaptır.

  Eğer bu seçeneklerde olmasaydı, ikinci bölme noktasının koordinatlarını da bulmamız gerekebilirdi (bu nokta doğru parçasını $2:1$ oranında bölerdi). İkinci bölme noktasını $P_2(x_{P2}, y_{P2})$ olarak adlandıralım. Bu durumda $m=2$ ve $n=1$ olurdu:

  $x_{P2} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 8}{1+2} = \frac{2 + 16}{3} = \frac{18}{3} = 6$

  $y_{P2} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 7}{1+2} = \frac{3 + 14}{3} = \frac{17}{3}$

  İkinci bölme noktasının koordinatları $P_2(6, \frac{17}{3})$'tür. Bu da C seçeneğinde mevcuttur. Ancak biz ilk bulduğumuz noktanın seçeneklerde olduğunu gördüğümüz için doğru cevabı bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.