f: A → B fonksiyonu sabit fonksiyon ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) A kümesi tek elemanlıdır
B) B kümesi tek elemanlıdır
C) f bire birdir
D) f örtendir
Sabit fonksiyonun ne anlama geldiğini hatırlayarak başlayalım. Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu sabit fonksiyon ise, A kümesindeki her eleman B kümesindeki aynı elemana eşlenir. Yani, A kümesinden hangi elemanı alırsak alalım, fonksiyonun sonucu hep aynıdır.
- A) A kümesi tek elemanlıdır: Bu kesinlikle doğru olmak zorunda değil. A kümesi birden fazla eleman içerebilir. Örneğin, $A = \{1, 2, 3\}$ ve $f(1) = f(2) = f(3) = 5$ ise, $f$ sabit fonksiyondur ama A kümesi tek elemanlı değildir.
- B) B kümesi tek elemanlıdır: İşte bu doğru! Çünkü sabit fonksiyon tanımı gereği, A kümesindeki tüm elemanlar B kümesinde sadece bir elemana eşlenir. Eğer B kümesinde birden fazla eleman olsaydı, fonksiyon sabit olmazdı. Örneğin, $f(x) = c$ gibi bir sabit fonksiyon düşünelim. Burada $c$, B kümesindeki tek bir elemanı temsil eder.
- C) f bire birdir: Bire bir fonksiyon, farklı elemanları farklı elemanlara eşleyen fonksiyondur. Sabit fonksiyon ise tüm elemanları aynı elemana eşlediği için bire bir olamaz (A kümesi tek elemanlı değilse). Örneğin, $f(1) = f(2) = 5$ ise, 1 ve 2 farklı elemanlar olmasına rağmen aynı sonuca (5) eşlenmişlerdir.
- D) f örtendir: Örten fonksiyon, B kümesindeki her elemanın A kümesinde bir karşılığı olması demektir. Sabit fonksiyonun örten olması için B kümesinin sadece bir elemanı olması ve o elemanın da fonksiyonun değeri olması gerekir. Ancak B kümesinin tek elemanlı olması durumunda örten olabilir, aksi takdirde örten olmak zorunda değildir.
Bu açıklamalar ışığında, sabit fonksiyon olması durumunda kesinlikle doğru olan seçeneğin B olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
