Bir sınıftaki öğrenciler 1'den 100'e kadar (1 ve 100 dahil) tam sayılardan birini seçiyor. Güvercin yuvası ilkesini kullanarak, seçilen sayıların toplamının 101'e tam bölündüğü en az bir öğrenci grubunun var olduğunu göstermek istiyoruz. Bu durumu garantilemek için en az kaç öğrenci olmalıdır?
A) 100Bu soruyu çözerken Güvercin Yuvası İlkesi'ni (Dirichlet's Principle) ve biraz da matematiksel düşünceyi kullanacağız. Amacımız, seçilen sayıların toplamının 101'e bölünebilmesi için en az kaç öğrenciye ihtiyacımız olduğunu bulmak.
Öncelikle, 1'den 100'e kadar olan sayıların 101 ile bölümünden kalanları düşünelim. Bir sayının 101 ile bölümünden kalan 0 ile 100 arasında olabilir. Yani 101 farklı olası kalan var (0, 1, 2, ..., 100).
Amacımız, öğrencilerin seçtiği sayılardan öyle gruplar oluşturmak ki, bu gruplardaki sayıların toplamı 101'in katı olsun. Örneğin, bir öğrenci 1 seçerse, başka bir öğrencinin 100 seçmesi bu amaca hizmet eder, çünkü 1 + 100 = 101.
Şimdi, kalanları eşleştirelim. Şöyle çiftler oluşturabiliriz: (1, 100), (2, 99), (3, 98), ..., (50, 51). Bu şekilde 50 tane çift elde ederiz. Her bir çiftin toplamı 101'dir. Ayrıca, 101 sayısının kendisi de 101'e tam bölünür (kalanı 0'dır).
Eğer 51 öğrenci varsa ve her öğrenci farklı bir sayı seçmişse, bu sayıların 101'e bölümünden kalanları da farklı olacaktır. Bu durumda, yukarıda bahsettiğimiz eşleşen çiftlerden hiçbirini elde edemeyebiliriz ve toplamları 101'e bölünen bir grup oluşturamayabiliriz. Ancak, eğer 101 öğrenci varsa, Güvercin Yuvası İlkesi'ne göre, en az iki öğrencinin seçtiği sayıların 101 ile bölümünden kalan aynı olmak zorundadır. Bu durumda, bu iki sayının farkı 101'e tam bölünür. Ancak biz toplamı 101'e bölünen bir grup arıyoruz.
En kötü senaryoyu düşünelim: İlk 51 öğrenci 1, 2, 3, ..., 50 ve 101 sayılarını seçmiş olsun. Bu durumda, herhangi iki sayının toplamı 101'e bölünmüyor. Ancak, 51 öğrenciden sonra, 52. öğrenci hangi sayıyı seçerse seçsin, ya yukarıdaki eşleşen çiftlerden birini tamamlayacak ya da kendisi zaten 101'e bölünecektir. Bu nedenle, 101 öğrenci olduğunda kesinlikle toplamı 101'e bölünen bir grup bulabiliriz.
Cevap B seçeneğidir.
