Bir paketleme firması, küre şeklindeki ürünleri kare prizma şeklindeki kutulara yerleştirmektedir. Bu durumla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Kürenin tüm noktaları kutunun yüzeyine değerMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, küre şeklindeki bir ürünün kare prizma şeklindeki bir kutuya yerleştirilmesi durumu inceleniyor. Doğru cevabı bulmak için her seçeneği dikkatlice değerlendirelim.
Bu ifade doğru değildir. Bir küre, bir kutunun içine yerleştirildiğinde, kutunun yüzeylerine sadece belirli noktalardan (eğer küre kutuya tam oturuyorsa) veya yüzeylerden (eğer küre kutunun bir yüzeyine yaslanıyorsa) temas eder. Kürenin tüm yüzeyi kutunun tüm yüzeyine değmez. Örneğin, küre kutunun köşelerine veya kenarlarına değmez, sadece kutunun iç yüzeylerinin merkez noktalarına (eğer küre tam oturuyorsa) temas edebilir.
Bu da doğru değildir. Bir küre bir kutunun içine yerleştirildiğinde, kutunun hacmi ve yüzey alanı her zaman kürenin hacminden ve yüzey alanından daha büyük olmak zorundadır (eğer küre kutunun içine sığıyorsa). Örneğin, yarıçapı $r$ olan bir kürenin yüzey alanı $4\pi r^2$ iken, bu küreyi tam olarak içine alan bir küpün (kare prizmanın özel hali) bir kenarı $2r$ olur ve yüzey alanı $6 \times (2r)^2 = 24r^2$ olur. Gördüğünüz gibi, $4\pi r^2$ ve $24r^2$ birbirine eşit değildir.
Bu ifade genellikle doğrudur. Bir ürünün bir kutuya en dengeli ve güvenli şekilde yerleştirilmesi için, ürünün (burada kürenin) ağırlık merkezi ile kutunun geometrik merkezinin aynı noktada olması istenir. Bu, hem ürünün kutu içinde hareket etmesini en aza indirir hem de kutunun dengeli taşınmasını sağlar. Eğer küre kutunun merkezine yerleştirilmezse, kutu içinde bir tarafa kayabilir veya dengesiz durabilir.
Bu ifade kesinlikle yanlıştır. Bir cismin (kürenin) başka bir cismin (kutunun) içine sığabilmesi için, içine sığdığı cismin (kutunun) hacminin, sığan cismin (kürenin) hacminden daha büyük veya en azından eşit olması gerekir. Eğer kutunun hacmi kürenin hacminden küçük olsaydı, küre kutuya sığmazdı. Yarıçapı $r$ olan bir kürenin hacmi $\frac{4}{3}\pi r^3$ iken, bu küreyi tam olarak içine alan bir küpün hacmi $(2r)^3 = 8r^3$ olur. Açıkça $8r^3 > \frac{4}{3}\pi r^3$ dir.
Bu değerlendirmeler sonucunda, kürenin kutuya en uygun ve dengeli şekilde yerleştirilmesi durumunda, kürenin merkezinin kutunun merkeziyle çakışacağı sonucuna varırız.
Cevap C seçeneğidir.
