10. Sınıf sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği Test 2

\( \cos\theta = -\frac{1}{2} \) ve \( \theta \) ikinci bölgede olduğuna göre, \( \sin\theta \) değeri kaçtır?

A) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
C) \( -\frac{1}{2} \)
D) \( \frac{1}{2} \)

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek trigonometrik oranları ve bölgelerdeki işaretlerini nasıl kullanacağımızı öğrenelim.

• Adım 1: Temel Trigonometrik Özdeşliği Hatırlayalım
• Trigonometride çok önemli bir özdeşlik vardır: $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $. Bu özdeşlik, bir açının sinüs ve kosinüs değerleri arasındaki ilişkiyi gösterir. Eğer birini biliyorsak, diğerini bulmak için bu özdeşliği kullanabiliriz.
• Adım 2: Verilen $ \cos\theta $ Değerini Özdeşlikte Yerine Koyalım
• Soruda bize $ \cos\theta = -\frac{1}{2} $ olarak verilmiş. Bu değeri özdeşliğimize yerleştirelim:
• $ \sin^2\theta + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 $
• Adım 3: Denklemi Çözerek $ \sin^2\theta $ Değerini Bulalım
• Şimdi denklemi basitleştirelim ve $ \sin^2\theta $ değerini yalnız bırakalım:
• $ \sin^2\theta + \frac{1}{4} = 1 $
• $ \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{4} $
• $ \sin^2\theta = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} $
• $ \sin^2\theta = \frac{3}{4} $
• Adım 4: $ \sin\theta $ Değerini Bulmak İçin Karekök Alalım
• $ \sin^2\theta = \frac{3}{4} $ olduğuna göre, $ \sin\theta $ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
• $ \sin\theta = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} $
• $ \sin\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} $
• $ \sin\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $
• Burada iki olası değerimiz var: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ ve $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Doğru olanı seçmek için açının bulunduğu bölge bilgisini kullanmalıyız.
• Adım 5: Açının Bölgesini Kullanarak $ \sin\theta $ İşaretini Belirleyelim
• Soruda bize $ \theta $ açısının ikinci bölgede olduğu bilgisi verilmiş. Trigonometrik oranların bölgelerdeki işaretlerini hatırlayalım:
• Birinci bölgede (0° - 90°): Sinüs (+), Kosinüs (+), Tanjant (+)
• İkinci bölgede (90° - 180°): Sinüs (+), Kosinüs (-), Tanjant (-)
• Üçüncü bölgede (180° - 270°): Sinüs (-), Kosinüs (-), Tanjant (+)
• Dördüncü bölgede (270° - 360°): Sinüs (-), Kosinüs (+), Tanjant (-)
• $ \theta $ açısı ikinci bölgede olduğu için, $ \sin\theta $ değeri pozitif olmalıdır.
• Adım 6: Sonucu Belirleyelim
• Yukarıdaki adımlara göre, $ \sin\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $ bulduk ve ikinci bölgede sinüsün pozitif olması gerektiğini belirledik. Bu durumda, $ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $ olmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.