10. Sınıf sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği Test 2

\( \sin^2\theta - \cos^2\theta = \frac{1}{2} \) olduğuna göre, \( \sin^4\theta + \cos^4\theta \) ifadesinin değeri kaçtır?

A) \( \frac{1}{2} \)
B) \( \frac{3}{4} \)
C) \( \frac{5}{8} \)
D) \( \frac{7}{8} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda trigonometrik özdeşlikleri kullanarak verilen bir ifadeyi başka bir ifadeye dönüştürmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgiyi ve İstenen İfadeyi Anlayalım:

  Bize $ \sin^2\theta - \cos^2\theta = \frac{1}{2} $ eşitliği verilmiş. Bizden $ \sin^4\theta + \cos^4\theta $ ifadesinin değeri isteniyor.

• 2. İstenen İfadeyi Daha Kullanışlı Bir Şekle Dönüştürelim:

  Trigonometrinin temel özdeşliklerinden biri olan $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ eşitliğini biliyoruz. Bu eşitliğin her iki tarafının karesini alarak istenen ifadeye ulaşmaya çalışalım:

  $ (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 = 1^2 $

  Sol tarafı $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğini kullanarak açarsak:

  $ (\sin^2\theta)^2 + 2\sin^2\theta\cos^2\theta + (\cos^2\theta)^2 = 1 $

  $ \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1 $

  Şimdi $ \sin^4\theta + \cos^4\theta $ ifadesini yalnız bırakalım:

  $ \sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta $

  Gördüğümüz gibi, amacımız $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta $ ifadesinin değerini bulmak.

• 3. Verilen Bilgiyi Kullanarak $ \sin^2\theta $ ve $ \cos^2\theta $ Değerlerini Bulalım:

  Elimizde iki denklem var:

  1. $ \sin^2\theta - \cos^2\theta = \frac{1}{2} $ (Soruda verilen bilgi)

  2. $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ (Temel trigonometrik özdeşlik)

  Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak $ \cos^2\theta $ terimini yok edelim:

  $ (\sin^2\theta - \cos^2\theta) + (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \frac{1}{2} + 1 $

  $ 2\sin^2\theta = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} $

  $ 2\sin^2\theta = \frac{3}{2} $

  Her iki tarafı $2$'ye bölersek:

  $ \sin^2\theta = \frac{3}{4} $

  Şimdi $ \sin^2\theta = \frac{3}{4} $ değerini ikinci denkleme ($ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $) yerine koyarak $ \cos^2\theta $ değerini bulalım:

  $ \frac{3}{4} + \cos^2\theta = 1 $

  $ \cos^2\theta = 1 - \frac{3}{4} $

  $ \cos^2\theta = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} $

  $ \cos^2\theta = \frac{1}{4} $

• 4. $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta $ İfadesinin Değerini Hesaplayalım:

  Bulduğumuz $ \sin^2\theta = \frac{3}{4} $ ve $ \cos^2\theta = \frac{1}{4} $ değerlerini kullanarak $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta $ ifadesini hesaplayalım:

  $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) $

  $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 2 \cdot \frac{3}{16} $

  $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{6}{16} $

  Bu kesri sadeleştirirsek:

  $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{3}{8} $

• 5. Sonucu Bulalım:

  İlk adımda elde ettiğimiz $ \sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta $ ifadesinde $ 2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{3}{8} $ değerini yerine yazalım:

  $ \sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - \frac{3}{8} $

  $ \sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} $

  $ \sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{5}{8} $

Böylece $ \sin^4\theta + \cos^4\theta $ ifadesinin değerini $ \frac{5}{8} $ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.