$\sqrt{x^2 + 4x + 4}$ ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Bu ifade bir polinomdur
B) Bu ifade köklü olduğu için polinom olamaz
C) Bu ifade sadeleştirilince polinom olur
D) Bu ifadenin derecesi 2'dir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen köklü ifadenin ne tür bir matematiksel ifade olduğunu anlamamız ve seçenekleri buna göre değerlendirmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İfadeyi İnceleyelim
- Verilen ifade $\sqrt{x^2 + 4x + 4}$ şeklindedir. Kök içindeki ifadeye dikkatlice bakalım: $x^2 + 4x + 4$.
- Adım 2: Kök İçindeki İfadeyi Sadeleştirelim
- $x^2 + 4x + 4$ ifadesi tanıdık gelmeli. Bu, bir tam kare ifadenin açılımıdır. Hatırlayalım: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Burada $a=x$ ve $b=2$ alırsak, $(x+2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 = x^2 + 4x + 4$ olduğunu görürüz.
O halde, kök içindeki ifadeyi $(x+2)^2$ olarak yazabiliriz.
- Adım 3: Köklü İfadeyi Sadeleştirelim
- Şimdi ifademiz $\sqrt{(x+2)^2}$ şeklini aldı. Karekök ve kare birbirini götürürken dikkat etmemiz gereken önemli bir kural vardır: $\sqrt{A^2} = |A|$'dır. Yani, bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir.
Bu durumda, $\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$ olur.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim
- İfademizi en sade haliyle $|x+2|$ olarak bulduk. Şimdi seçenekleri bu bilgi ışığında inceleyelim:
- A) Bu ifade bir polinomdur
- Bir polinom, değişkenlerin yalnızca toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren bir ifadedir. Mutlak değer fonksiyonu (örneğin $|x|$ veya $|x+2|$) genellikle bir polinom olarak kabul edilmez çünkü parçalı tanımlıdır ve tek bir cebirsel formülle ifade edilemez. Dolayısıyla, başlangıçtaki köklü ifade de polinom değildir. Bu seçenek yanlıştır.
- B) Bu ifade köklü olduğu için polinom olamaz
- Başlangıçtaki haliyle evet, köklü olduğu için polinom değildir. Ancak, eğer köklü ifade sadeleşerek kökten kurtulup bir polinom haline gelebiliyorsa, bu ifade "polinom olamaz" demek her zaman doğru değildir. Bu seçenek, ifadenin sadeleşme potansiyelini göz ardı etmektedir.
- C) Bu ifade sadeleştirilince polinom olur
- İfadeyi sadeleştirdiğimizde $|x+2|$ elde ettik. Mutlak değer fonksiyonu, $x+2 \ge 0$ (yani $x \ge -2$) olduğunda $x+2$ olarak, $x+2 < 0$ (yani $x < -2$) olduğunda ise $-(x+2) = -x-2$ olarak tanımlanır.
Hem $x+2$ hem de $-x-2$ birer polinomdur (birinci dereceden polinomlardır).
Dolayısıyla, ifade sadeleştirildiğinde, $x$'in değerine bağlı olarak bir polinom formunu alır. Bu nedenle, "sadeleştirilince polinom olur" ifadesi doğru bir yorumdur. Başlangıçta köklü olduğu için polinom olmayan ifade, sadeleşince polinom özelliklerini gösteren parçalara ayrılır.
- D) Bu ifadenin derecesi 2'dir
- Bir polinomun derecesi, en yüksek üslü terimin üssüdür. İfadeyi sadeleştirdiğimizde $|x+2|$ elde ettik. Bu ifade, mutlak değer içerdiği için doğrudan bir polinom değildir ve bu nedenle derecesi de doğrudan tanımlanamaz. Eğer $x \ge -2$ için $x+2$ olarak alırsak, derecesi 1 olur. Kök içindeki $x^2 + 4x + 4$ ifadesinin derecesi 2 olsa da, karekök dışına çıktığında bu derece değişir. Bu seçenek yanlıştır.
- Sonuç:
- İfadeyi sadeleştirdiğimizde $|x+2|$ elde ederiz. Her ne kadar mutlak değer fonksiyonu tek başına bir polinom olmasa da, $x$'in farklı aralıklarındaki tanımları ($x+2$ veya $-x-2$) birer polinomdur. Bu bağlamda, başlangıçtaki köklü ifadenin sadeleşmiş halinin polinom özelliklerini taşıdığı ve polinom formunda ifade edilebildiği söylenebilir. Bu da C seçeneğini doğru kılar.
Cevap C seçeneğidir.
