Köklü ifadeler (kök x) polinom olur mu

Question

Köklü ifadelerin neden polinom sayılmadığını anlamakta zorlanıyorum. Mesela √x'in üssü 1/2 olduğu için tam sayı değil diye biliyorum ama tam olarak kavrayamadım. Polinomlarda üslerin neden tam sayı olması gerektiğini basitçe açıklar mısınız?

Answer 1

Bu soruyu cevaplamak için önce polinomun tanımını hatırlamak gerekir.

Polinom Nedir?

Bir ifadenin polinom olabilmesi için aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir:

• Değişkenler (genellikle x, y, z) yalnızca doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) kuvvetlerine yükseltilmelidir.
• Değişkenler bir kök işareti (radikal) içinde bulunmamalıdır.
• Değişkenler paydada bulunmamalıdır (negatif üs olmamalı).
• Değişkenler trigonometrik, logaritmik vb. ifadelerin içinde olmamalıdır.

Matematiksel olarak, bir polinom genel formda şu şekilde yazılır:

\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \)

Burada \( n \) bir doğal sayı, \( a_n, a_{n-1}, ..., a_0 \) ise katsayılardır.

Köklü İfadeler ve Polinomluk Durumu

\( \sqrt{x} \) ifadesini inceleyelim.

\( \sqrt{x} \) ifadesi, \( x^{1/2} \) üslü ifadesine eşdeğerdir. Gördüğünüz gibi, değişkenin üssü \( \frac{1}{2} \)'dir. Bu bir rasyonel sayıdır, ancak bir doğal sayı değildir (0, 1, 2, ... şeklinde devam eden sayılar).

Polinom tanımı gereği, değişkenin üssünün doğal sayı olması zorunludur. \( \frac{1}{2} \) bir doğal sayı olmadığı için, \( \sqrt{x} \) tek başına bir polinom değildir.

Peki Ne Tür Bir Fonksiyondur?

\( f(x) = \sqrt{x} \) bir cebirsel fonksiyondur. Bu tür fonksiyonlar, polinomlardan daha geniş bir ailenin üyesidir ve değişkenler rasyonel üsler içerebilir. Ancak bu onları polinom yapmaz.

Özet

• Hayır, \( \sqrt{x} \) bir polinom değildir.
• Sebebi, \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) ifadesindeki üssün (\( \frac{1}{2} \)) bir doğal sayı olmamasıdır.
• Polinomlar yalnızca doğal sayı üslü terimlerden oluşabilir.