Bir açıyı, ölçüleri birbirine eşit olan iki açısal bölgeye ayıran ışına açıortay denir. Üçgenlerde hem iç hem de dış açıortay kavramları vardır ve bunların uzunluklarını hesaplamak için formüller geliştirilmiştir.
Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı komşu kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böler.
Teorem: Bir ABC üçgeninde [AN], A köşesinden çizilen bir iç açıortay olsun. Bu durumda aşağıdaki orantı geçerlidir:
\( \dfrac{|BN|}{|NC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{c}{b} \)
İç Açıortay Uzunluğu Formülü: A köşesinden çizilen ve kenar uzunlukları \( a = |BC| \), \( b = |AC| \), \( c = |AB| \) olan bir üçgendeki iç açıortayın (\( n_A \)) uzunluğu aşağıdaki formülle bulunur:
\( n_A = \sqrt{b \cdot c \left[1 - \left( \dfrac{a}{b+c} \right)^2 \right]} \)
Bu formül, kenar uzunlukları cinsinden daha yaygın olarak şu şekilde yazılır:
\( n_A^2 = b \cdot c - m \cdot n \)
Burada \( m = |BN| \) ve \( n = |NC| \), açıortayın [BC] kenarını böldüğü parçalardır ve \( m = \dfrac{a \cdot c}{b+c} \), \( n = \dfrac{a \cdot b}{b+c} \) şeklinde hesaplanır.
Bir üçgende bir köşedeki dış açıortay, karşı kenarın uzantısını komşu kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böler.
Teorem: Bir ABC üçgeninde [AD], A köşesinden çizilen bir dış açıortay olsun. [BC] kenarının uzantısını D noktasında kessin. Bu durumda aşağıdaki orantı geçerlidir:
\( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{c}{b} \)
Dış Açıortay Uzunluğu Formülü: A köşesinden çizilen dış açıortayın (\( d_A \)) uzunluğu ise şu formülle hesaplanır:
\( d_A = \sqrt{m \cdot n - b \cdot c} \)
Bu formül, kenar uzunlukları cinsinden daha yaygın olarak şu şekilde yazılır:
\( d_A^2 = b \cdot c \left[ \left( \dfrac{a}{b-c} \right)^2 - 1 \right] \)
Bu formülün geçerli olabilmesi için \( b \neq c \) olmalıdır. Eğer \( b = c \) ise, üçgen ikizkenardır ve dış açıortay kenara paralel olur, yani uzunluğu sonsuzdur (tanımsızdır).
