Düzlem nedir Test 2

Bir mimar, koordinat düzleminde A(1,2), B(4,6) ve C(7,2) noktalarını işaretleyerek bir üçgen oluşturuyor. Bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 14

Bu soruda, koordinat düzleminde verilen A(1,2), B(4,6) ve C(7,2) noktalarıyla oluşan üçgenin alanını bulacağız. Bir üçgenin alanını koordinatları kullanarak bulmanın farklı yolları vardır. En anlaşılır ve genellikle en kolay yöntemlerden biri, taban ve yükseklik belirleyerek alanı hesaplamaktır.

• Adım 1: Üçgenin tabanını belirleme.

  Üçgenin köşe noktalarının koordinatlarına dikkatlice bakalım: A(1,2), B(4,6) ve C(7,2). A ve C noktalarının y-koordinatları aynıdır (her ikisi de 2). Bu durum, AC kenarının x eksenine paralel, yani yatay bir doğru parçası olduğunu gösterir. Bu kenarı üçgenimizin tabanı olarak alabiliriz.

  AC tabanının uzunluğunu bulmak için, A ve C noktalarının x-koordinatları arasındaki farkın mutlak değerini alırız:

  Taban uzunluğu (AC) $= |x_C - x_A| = |7 - 1| = |6| = 6$ birim.

• Adım 2: Üçgenin yüksekliğini belirleme.

  Tabanımız AC olduğuna göre, bu tabana ait yükseklik, üçüncü köşe olan B noktasından (4,6) AC doğrusuna olan dik uzaklıktır. AC doğrusu, y-koordinatı 2 olan yatay bir doğrudur (yani $y=2$ doğrusu).

  Yükseklik, B noktasının y-koordinatı ile AC doğrusunun y-koordinatı arasındaki farkın mutlak değeridir:

  Yükseklik (h) $= |y_B - y_{AC}| = |6 - 2| = |4| = 4$ birim.

• Adım 3: Üçgenin alanını hesaplama.

  Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı formülüyle bulunur:

  $\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$

  Bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:

  $\text{Alan} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4$

  $\text{Alan} = \frac{1}{2} \times 24$

  $\text{Alan} = 12$ birimkare.

Bu durumda, mimarın işaretlediği üçgenin alanı 12 birimkaredir.

Cevap C seçeneğidir.