Bir tasarımcı, koordinat düzleminde merkezi (2,-1) noktasında ve yarıçapı 5 birim olan bir çember çiziyor. Bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-2)² + (y+1)² = 5
B) (x+2)² + (y-1)² = 25
C) (x-2)² + (y+1)² = 25
D) (x+2)² + (y-1)² = 5
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, koordinat düzleminde merkezi ve yarıçapı verilen bir çemberin denklemini bulmamız isteniyor. Çember denklemleri, geometride önemli bir yer tutar ve belirli bir formülü vardır. Şimdi bu formülü hatırlayarak ve adımları takip ederek soruyu çözelim.
- 1. Çemberin Standart Denklemini Hatırlayalım:
- Merkezi $(h, k)$ noktasında ve yarıçapı $r$ birim olan bir çemberin standart denklemi şu şekildedir: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
- 2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Soruda bize çemberin merkezi $(h, k) = (2, -1)$ olarak verilmiş. Bu durumda $h=2$ ve $k=-1$ olur.
- Çemberin yarıçapı $r = 5$ birim olarak verilmiş.
- 3. Bilgileri Denkleme Yerleştirelim:
- Şimdi bulduğumuz $h$, $k$ ve $r$ değerlerini standart çember denklemine yerleştirelim:
- $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
- $(x-2)^2 + (y-(-1))^2 = 5^2$
- 4. Denklemi Sadeleştirelim:
- Denklemi daha anlaşılır hale getirelim:
- $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$
- Burada dikkat etmemiz gereken nokta, $y-(-1)$ ifadesinin $y+1$ olması ve yarıçapın karesi olan $5^2$'nin $25$ olmasıdır.
- 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:
- Şimdi bulduğumuz $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ denklemini verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5$ (Yarıçapın karesi yanlış)
- B) $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 25$ (Merkez koordinatlarının işaretleri yanlış)
- C) $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ (Doğru!)
- D) $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ (Hem merkez koordinatlarının işaretleri hem de yarıçapın karesi yanlış)
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem C seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap C seçeneğidir.
