Bu problemde, bir bahçedeki ağaç sayısını bulmamız isteniyor. Ağaç sayısının 100'den az olduğu ve belirli gruplandırmalarda kalanlar olduğu bilgisi verilmiş. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi görelim.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Matematiksel İfadeye Dönüştürme
- Ağaç sayısına $A$ diyelim.
- Ağaç sayısı 100'den azdır: $A < 100$.
- Ağaçlar 12'şerli gruplandırıldığında 7 ağaç artıyor. Bu, $A$'nın 12 ile bölümünden kalanın 7 olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak bunu şöyle yazabiliriz: $A = 12k + 7$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
- Ağaçlar 15'erli gruplandırıldığında 10 ağaç artıyor. Bu da $A$'nın 15 ile bölümünden kalanın 10 olduğu anlamına gelir: $A = 15m + 10$ (burada $m$ bir tam sayıdır).
- Adım 2: Ortak Bir Özellik Bulma
- Denklemlerimize dikkatlice bakalım:
- $A = 12k + 7$
- $A = 15m + 10$
- Her iki denkleme de 5 eklersek ne olur?
- $A + 5 = 12k + 7 + 5 = 12k + 12 = 12(k+1)$
- $A + 5 = 15m + 10 + 5 = 15m + 15 = 15(m+1)$
- Gördüğümüz gibi, $A+5$ sayısı hem 12'nin hem de 15'in bir katıdır. Yani $A+5$, 12 ve 15'in ortak bir katıdır.
- Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulma
- $A+5$ sayısının 12 ve 15'in ortak katı olduğunu bulduk. Ağaç sayısının en az olmasını istediğimiz için, 12 ve 15'in en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
- 12'nin asal çarpanları: $12 = 2^2 \times 3$
- 15'in asal çarpanları: $15 = 3 \times 5$
- EKOK(12, 15) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
- Demek ki, $A+5$ sayısı 60'ın bir katı olmalıdır.
- Adım 4: Ağaç Sayısını Bulma
- $A+5$ sayısı 60'ın katları olabilir: 60, 120, 180, ...
- Şimdi $A$ sayısını bulmak için her bir durumdan 5 çıkaralım:
- Eğer $A+5 = 60$ ise, $A = 60 - 5 = 55$.
- Eğer $A+5 = 120$ ise, $A = 120 - 5 = 115$.
- Eğer $A+5 = 180$ ise, $A = 180 - 5 = 175$.
- Adım 5: Koşulları Kontrol Etme
- Soruda ağaç sayısının 100'den az olduğu belirtilmişti ($A < 100$).
- Bulduğumuz $A$ değerlerini bu koşulla karşılaştıralım:
- $A = 55$: Bu sayı 100'den küçüktür ($55 < 100$). Bu bir adaydır.
- $A = 115$: Bu sayı 100'den büyük olduğu için ($115 \not< 100$) bu olamaz.
- Diğer katlar da 100'den büyük olacağı için onları da eleyebiliriz.
- Dolayısıyla, bahçedeki ağaç sayısı 55 olmalıdır.
- Adım 6: Çözümü Doğrulama
- Ağaç sayısı $A = 55$ ise:
- 12'şerli gruplandırıldığında: $55 \div 12 = 4$ (kalan 7). Doğru.
- 15'erli gruplandırıldığında: $55 \div 15 = 3$ (kalan 10). Doğru.
- Ağaç sayısı 100'den az ($55 < 100$). Doğru.
Tüm koşullar sağlandığına göre, bahçede en az 55 ağaç vardır.
Cevap A seçeneğidir.
