2. Sınıf Varlık Sayılarını 100'e Kadar Belirleme Konu Anlatımı Test 1

Bir kütüphanedeki kitapların sayısı 100'den azdır. Kitaplar 8'erli raflara yerleştirilirse 5 kitap, 11'erli raflara yerleştirilirse 8 kitap dışarıda kalıyor. Buna göre kütüphanede kaç kitap vardır?

A) 61
B) 69
C) 77
D) 85

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir kütüphanedeki kitap sayısını bulmak için bize verilen ipuçlarını adım adım değerlendireceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadeye Çevirelim:
  • Kütüphanedeki kitap sayısına $K$ diyelim.
  • Soruda verilen ilk bilgi: Kitapların sayısı 100'den azdır. Yani $K < 100$.
  • İkinci bilgi: Kitaplar 8'erli raflara yerleştirilirse 5 kitap dışarıda kalıyor. Bu, $K$ sayısının 8'e bölündüğünde kalanın 5 olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak bunu $K \equiv 5 \pmod{8}$ şeklinde ifade edebiliriz.
  • Üçüncü bilgi: Kitaplar 11'erli raflara yerleştirilirse 8 kitap dışarıda kalıyor. Bu da $K$ sayısının 11'e bölündüğünde kalanın 8 olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $K \equiv 8 \pmod{11}$ şeklinde ifade ederiz.
• Denklemleri Ortak Bir Noktada Buluşturalım:
  • Şimdi elimizde iki tane denklik var: $K \equiv 5 \pmod{8}$ ve $K \equiv 8 \pmod{11}$.
  • Bu tür problemlerde, her iki denklikte de aynı kalanı veren veya kalanı sıfır yapan bir sayı bulmaya çalışmak işimizi kolaylaştırır.
  • İlk denklikte kalan 5. Eğer $K$'ya 3 eklersek, $K+3 \equiv 5+3 \pmod{8} \Rightarrow K+3 \equiv 8 \pmod{8}$. Bir sayının 8'e bölümünden kalan 8 olamaz, bu da kalanın 0 olduğu anlamına gelir. Yani $K+3 \equiv 0 \pmod{8}$.
  • İkinci denklikte kalan 8. Eğer $K$'ya 3 eklersek, $K+3 \equiv 8+3 \pmod{11} \Rightarrow K+3 \equiv 11 \pmod{11}$. Bu da kalanın 0 olduğu anlamına gelir. Yani $K+3 \equiv 0 \pmod{11}$.
• Ortak Katı Bulalım:
  • Yukarıdaki adımlardan anlıyoruz ki, $K+3$ sayısı hem 8'in hem de 11'in tam katıdır.
  • Yani $K+3$, 8 ve 11 sayılarının ortak katıdır.
  • 8 ve 11 sayıları aralarında asal olduğu için (yani 1'den başka ortak bölenleri olmadığı için), en küçük ortak katları (EKOK) bu iki sayının çarpımına eşittir.
  • $\text{EKOK}(8, 11) = 8 \times 11 = 88$.
  • Bu durumda, $K+3$ sayısı 88'in bir katı olmalıdır. Yani $K+3 = 88 \times m$ şeklinde yazabiliriz (burada $m$ bir tam sayıdır).
• Kitap Sayısını (K) Hesaplayalım:
  • $K+3 = 88 \times m$ denkleminden $K$'yı yalnız bırakalım: $K = 88 \times m - 3$.
  • Şimdi $K < 100$ koşulunu kullanarak $m$ için uygun değeri bulalım.
  • Eğer $m=1$ alırsak: $K = 88 \times 1 - 3 = 88 - 3 = 85$.
  • Bu değer ($85$), 100'den küçüktür, yani bu bir olası cevaptır.
  • Eğer $m=2$ alırsak: $K = 88 \times 2 - 3 = 176 - 3 = 173$.
  • Bu değer ($173$), 100'den büyüktür, dolayısıyla sorunun koşulunu sağlamaz.
  • Bu durumda, kütüphanedeki kitap sayısı $K=85$'tir.
• Cevabı Kontrol Edelim:
  • Kitap sayısı 85.
  • 85, 100'den küçük mü? Evet ($85 < 100$).
  • 85'i 8'e böldüğümüzde kalan 5 mi? $85 = 8 \times 10 + 5$. Evet, kalan 5.
  • 85'i 11'e böldüğümüzde kalan 8 mi? $85 = 11 \times 7 + 8$. Evet, kalan 8.
  • Tüm koşullar sağlandığına göre cevabımız doğrudur.

Cevap B seçeneğidir.