Bir öğrenci $\lim_{x \to 0^+} x^x$ limitini hesaplamak istiyor. Bu limitin değeri nedir?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler,
Bugün sizlerle $\lim_{x \to 0^+} x^x$ limitini adım adım, anlaşılır bir şekilde hesaplayacağız. Bu tür limitler ilk bakışta karmaşık görünebilir, ancak doğru yöntemleri uyguladığımızda oldukça kolay çözülebilirler.
Adım 1: Belirsiz Biçimi Tanımlama
Limit hesaplamaya başlamadan önce, $x \to 0^+$ iken $x^x$ ifadesinin hangi değere yaklaştığını inceleyelim. $x \to 0^+$ olduğunda, taban $x \to 0$ ve üs $x \to 0$ olur. Bu durumda ifade $0^0$ belirsiz biçimine dönüşür. Bu tür belirsiz biçimleri doğrudan hesaplayamayız, özel yöntemler kullanmamız gerekir.
Adım 2: Doğal Logaritma Kullanımı
$f(x)^{g(x)}$ biçimindeki belirsiz limitleri hesaplarken doğal logaritma kullanmak yaygın ve etkili bir yöntemdir. Limitini hesaplamak istediğimiz ifadeye $L$ diyelim: $L = \lim_{x \to 0^+} x^x$. Şimdi bu ifadenin doğal logaritmasını alalım: $\ln L = \lim_{x \to 0^+} \ln(x^x)$. Logaritma özelliğini kullanarak üssü başa alabiliriz: $\ln(a^b) = b \ln a$. Bu durumda $\ln L = \lim_{x \to 0^+} (x \ln x)$ olur.
Adım 3: Yeni Belirsiz Biçim ve L'Hôpital Kuralı İçin Düzenleme
Şimdi $\lim_{x \to 0^+} (x \ln x)$ limitini hesaplamamız gerekiyor. $x \to 0^+$ iken $x \to 0$ ve $\ln x \to -\infty$ olur. Bu durumda $x \ln x$ ifadesi $0 \cdot (-\infty)$ belirsiz biçimine dönüşür. L'Hôpital Kuralı'nı uygulayabilmek için ifadeyi $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ biçimine getirmemiz gerekir. $x \ln x$ ifadesini $\frac{\ln x}{1/x}$ olarak yazabiliriz. Şimdi $x \to 0^+$ iken pay $\ln x \to -\infty$ ve payda $\frac{1}{x} \to \infty$ olur. Böylece $\frac{-\infty}{\infty}$ belirsiz biçimini elde ettik. Artık L'Hôpital Kuralı'nı uygulayabiliriz.
Adım 4: L'Hôpital Kuralı Uygulaması
L'Hôpital Kuralı'na göre, $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ belirsiz biçiminde ise, $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ limitini hesaplayabiliriz. Burada $f(x) = \ln x$ ve $g(x) = \frac{1}{x}$'tir.
Şimdi türevlerin oranının limitini alalım: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2}$.
Adım 5: Türevlerin Oranının Limitini Hesaplama
Elde ettiğimiz ifadeyi sadeleştirerek limiti hesaplayalım: $\frac{1/x}{-1/x^2} = \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{x^2}{1}\right) = -x$. Şimdi bu ifadenin limitini alalım: $\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$. Bu bulduğumuz değer, $\ln L$ için olan limittir. Yani $\lim_{x \to 0^+} \ln(x^x) = 0$.
Adım 6: Orijinal Limite Dönüş
Biz $\ln L = 0$ bulduk. Şimdi $L$'yi bulmak için her iki tarafın $e$ tabanında üssünü almalıyız. Eğer $\ln L = 0$ ise, $L = e^0$ olur. Herhangi bir sayının $0$ kuvveti (taban $0$ olmadıkça) $1$'e eşittir. Dolayısıyla $L = e^0 = 1$. Yani $\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$.
Cevap B seçeneğidir.
