Trigonometrik denklemler nedir Test 2

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{\frac{\pi}{3}, \pi\}$
B) $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$
C) $\{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}\}$
D) $\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\}$

Denklemi çözmek için, $a\sin x + b\cos x = c$ şeklindeki ifadeleri tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazma yöntemini kullanacağız. Bu yönteme "yardımcı açı dönüşümü" denir.

• Adım 1: Denklemi $R\sin(x-\alpha)$ formuna dönüştürme.

  Verilen denklem $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$ şeklindedir. Burada $a = \sqrt{3}$ ve $b = -1$'dir.

  Öncelikle $R$ değerini bulalım: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

  Denklemin her iki tarafını $R=2$ ile bölelim:

  $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

  Şimdi bu ifadeyi $\sin(x-\alpha) = \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha$ formuna benzetmeye çalışalım. Bunun için $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ olacak şekilde bir $\alpha$ açısı bulmalıyız. Bu koşulları sağlayan en küçük pozitif açı $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (veya $30^\circ$) radyan'dır.

  Denklemimiz şu hale gelir:

  $\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

  Bu ifadeyi trigonometrik özdeşlik kullanarak yazarsak:

  $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

• Adım 2: Temel trigonometrik denklemi çözme.

  Şimdi $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ denklemini çözmeliyiz. Sinüs değeri $\frac{1}{2}$ olan açılar $\frac{\pi}{6}$ ve $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$'dır.

  Genel çözüm formüllerini kullanarak iki farklı durum inceleyeceğiz:

  Durum 1: $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$

  Durum 2: $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

  Burada $k$ bir tam sayıdır.

• Adım 3: $x$ değerlerini bulma ve verilen aralıkta kontrol etme.

  Durum 1 için:

  $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$

  $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi$

  $x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi$

  $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$

  Verilen $[0, 2\pi)$ aralığındaki çözümler için $k$ değerlerini deneyelim:

  $k=0$ için $x = \frac{\pi}{3}$ bulunur. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığındadır.

  $k=1$ için $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ bulunur. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığında değildir.

  Durum 2 için:

  $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

  $x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi$

  $x = \frac{6\pi}{6} + 2k\pi$

  $x = \pi + 2k\pi$

  Verilen $[0, 2\pi)$ aralığındaki çözümler için $k$ değerlerini deneyelim:

  $k=0$ için $x = \pi$ bulunur. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığındadır.

  $k=1$ için $x = \pi + 2\pi = 3\pi$ bulunur. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığında değildir.

• Adım 4: Çözüm kümesini oluşturma.

  Yukarıdaki adımlarda bulduğumuz ve $[0, 2\pi)$ aralığında olan çözümler $\frac{\pi}{3}$ ve $\pi$'dir.

  Çözüm kümesi: $\left\{\frac{\pi}{3}, \pi\right\}$

Cevap A seçeneğidir.