Trigonometrik denklemler nedir Test 2

$\cos(2x) + \sin x = 1$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

• Adım 1: Denklemi Sadeleştirme

  Verilen denklem $\cos(2x) + \sin x = 1$ şeklindedir. Bu denklemi çözmek için, $\cos(2x)$ ifadesini $\sin x$ cinsinden yazmamız gerekir. Bunun için trigonometrik özdeşliklerden $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ formülünü kullanırız.

  Denklemde yerine yazarsak:

  $1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1$

  Şimdi denklemi düzenleyelim. Her iki taraftan $1$ çıkarırsak:

  $-2\sin^2 x + \sin x = 0$

  Daha kolay işlem yapmak için denklemin her iki tarafını $-1$ ile çarpabiliriz:

  $2\sin^2 x - \sin x = 0$

• Adım 2: Ortak Çarpan Parantezine Alma

  Elde ettiğimiz $2\sin^2 x - \sin x = 0$ denkleminde $\sin x$ ortak çarpanını görebiliriz. $\sin x$ parantezine alırsak:

  $\sin x (2\sin x - 1) = 0$

• Adım 3: Çözümleri Bulma

  İki ifadenin çarpımı sıfır ise, bu ifadelerden en az biri sıfır olmalıdır. Bu durumda iki ayrı denklem elde ederiz:

  • Birinci durum: $\sin x = 0$
  • İkinci durum: $2\sin x - 1 = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
• Adım 4: $[0, 2\pi)$ Aralığındaki $x$ Değerlerini Belirleme

  Şimdi her iki durum için $[0, 2\pi)$ aralığındaki $x$ değerlerini bulalım.

  • Durum 1: $\sin x = 0$

    Sinüs fonksiyonunun değeri $0$ olan açılar birim çemberde $x$-ekseni üzerindedir. Bu aralıktaki değerler:

    • $x = 0$
    • $x = \pi$
  • Durum 2: $\sin x = \frac{1}{2}$

    Sinüs fonksiyonunun değeri $\frac{1}{2}$ olan açılar 1. ve 2. bölgelerde bulunur. Temel açımız $\frac{\pi}{6}$'dır (yani $30^\circ$).

    • 1. bölgedeki çözüm: $x = \frac{\pi}{6}$
    • 2. bölgedeki çözüm: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
• Adım 5: Çözüm Kümesinin Eleman Sayısını Bulma

  Bulduğumuz tüm çözümler $[0, 2\pi)$ aralığındadır ve hepsi birbirinden farklıdır:

  • $x = 0$
  • $x = \pi$
  • $x = \frac{\pi}{6}$
  • $x = \frac{5\pi}{6}$

  Bu durumda çözüm kümesinin eleman sayısı 4'tür.

Cevap C seçeneğidir.