EKOK nasıl bulunur Test 2

Bir okulda 12 kişilik ve 18 kişilik sıralara öğrenciler hiç boş yer kalmayacak şekilde oturabilmektedir. Bu okuldaki öğrenci sayısı 150'den fazla olduğuna göre, en az kaç öğrenci vardır?

A) 156
B) 162
C) 168
D) 180

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, bir sayının birden fazla sayının ortak katı olmasını ve belirli bir koşulu sağlamasını gerektiren bir EBOB-EKOK (Ortak Bölenlerin En Büyüğü - Ortak Katların En Küçüğü) problemidir. Adım adım nasıl çözeceğimize bakalım:

• Problemi Anlayalım:

  Soruda verilen bilgilere göre, öğrenciler 12 kişilik sıralara veya 18 kişilik sıralara oturduklarında hiç boş yer kalmıyor. Bu ne anlama geliyor? Bu, okuldaki toplam öğrenci sayısının hem 12'nin hem de 18'in tam katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, öğrenci sayısı 12 ve 18'in ortak bir katıdır.

  Ayrıca, öğrenci sayısının 150'den fazla olduğu belirtiliyor ve bizden en az kaç öğrenci olduğunu bulmamız isteniyor.

• Ortak Katı Bulalım (EKOK):

  Öğrenci sayısı hem 12'nin hem de 18'in bir katı olduğuna göre, öncelikle bu iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK, hem 12'ye hem de 18'e bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır.

  12 ve 18'in asal çarpanlarını bulalım:

  • $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
  • $18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2$

  EKOK'u bulmak için, her asal çarpanın en büyük üslü olanını alırız ve çarparız:

  • $EKOK(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

  Bu durumda, okuldaki öğrenci sayısı 36'nın bir katı olmalıdır.

• Koşulu Sağlayan En Küçük Katı Bulalım:

  Şimdi 36'nın katlarını listeleyelim ve öğrenci sayısının 150'den fazla olma koşulunu kontrol edelim:

  • $36 \times 1 = 36$
  • $36 \times 2 = 72$
  • $36 \times 3 = 108$
  • $36 \times 4 = 144$
  • $36 \times 5 = 180$
  • $36 \times 6 = 216$

  Listeye baktığımızda, 150'den büyük olan ilk (yani en küçük) kat 180'dir.

• Sonucu Belirleyelim:

  Öğrenci sayısı 150'den fazla olmalı ve 36'nın bir katı olmalıdır. Bu koşulları sağlayan en küçük sayı 180'dir.

Cevap D seçeneğidir.