Aritmetik ortalama ve geometrik ortalama arasındaki fark Test 2

İki pozitif sayının aritmetik ortalaması 15, geometrik ortalaması ise 12'dir. Bu iki sayının çarpımı kaçtır?

A) 144
B) 169
C) 180
D) 225

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki sayının aritmetik ve geometrik ortalamaları verilmiş. Bizden bu iki sayının çarpımını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.

• Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlayalım

  İki pozitif sayıyı $a$ ve $b$ olarak adlandıralım.

• Adım 2: Aritmetik Ortalama (AO) Tanımını Kullanarak Bir Denklem Oluşturalım

  İki sayının aritmetik ortalaması, sayıların toplamının sayı adedine bölünmesiyle bulunur. Soruda aritmetik ortalamanın 15 olduğu belirtilmiş.

  Buna göre, matematiksel olarak şu denklemi yazabiliriz:

  $\frac{a+b}{2} = 15$

  Bu denklemi düzenlersek, sayıların toplamını buluruz:

  $a+b = 15 \times 2$

  $a+b = 30$

  Şimdilik bu bilgiye ihtiyacımız olmasa da, aritmetik ortalama tanımını doğru kullandığımızı görmek önemlidir.

• Adım 3: Geometrik Ortalama (GO) Tanımını Kullanarak Bir Denklem Oluşturalım

  İki pozitif sayının geometrik ortalaması, sayıların çarpımının karekökü alınarak bulunur. Soruda geometrik ortalamanın 12 olduğu belirtilmiş.

  Buna göre, matematiksel olarak şu denklemi yazabiliriz:

  $\sqrt{a \cdot b} = 12$

• Adım 4: Sayıların Çarpımını Bulalım

  Bizden istenen, bu iki sayının çarpımı, yani $a \cdot b$ değeridir. Geometrik ortalama denklemimiz zaten bu çarpımı içeriyor:

  $\sqrt{a \cdot b} = 12$

  Bu denklemin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulabilir ve $a \cdot b$ değerini doğrudan bulabiliriz:

  $(\sqrt{a \cdot b})^2 = 12^2$

  $a \cdot b = 144$

Böylece, iki sayının çarpımının 144 olduğunu bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.