Aritmetik ortalama ve geometrik ortalama arasındaki fark

Question

Bu iki ortalama türünü genel olarak anlıyorum ama hangi durumda hangisini kullanmam gerektiğini tam olarak kestiremiyorum. Özellikle geometrik ortalamanın günlük hayatta nerede karşıma çıkacağını merak ediyorum. Formülleri biliyorum ama mantığını tam oturtamadım sanki.

Answer 1

Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama, bir veri setindeki tüm sayıların toplamının, veri sayısına bölünmesiyle elde edilir. Günlük hayatta en sık kullanılan ortalama türüdür.

Eğer \( n \) tane sayımız (\( x_1, x_2, x_3, ..., x_n \)) varsa, aritmetik ortalaması (\( AO \)) şu formülle hesaplanır:

\( AO = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n} \)

Örnek:

5, 10 ve 15 sayılarının aritmetik ortalaması:

\( AO = \frac{5 + 10 + 15}{3} = \frac{30}{3} = 10 \)

Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama ise, bir veri setindeki tüm sayıların çarpımının, veri sayısı derecesinden kökünün alınmasıyla bulunur. Özellikle oranların, yüzdelerin ve büyüme hızlarının ortalamasını hesaplamak için kullanışlıdır.

\( n \) tane pozitif sayının (\( x_1, x_2, x_3, ..., x_n \)) geometrik ortalaması (\( GO \)) şu formülle hesaplanır:

\( GO = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times ... \times x_n} \)

Örnek:

4, 9 ve 16 sayılarının geometrik ortalaması:

\( GO = \sqrt[3]{4 \times 9 \times 16} = \sqrt[3]{576} = 8 \)

(Çünkü \( 8 \times 8 \times 8 = 512 \) değil, \( 8.32... \) şeklinde bir sayıdır. Ancak tam sonuç için: \( \sqrt[3]{576} = \sqrt[3]{64 \times 9} = 4\sqrt[3]{9} \) olur. Anlaşılır olması için 4, 9, 36 sayılarını ele alalım: \( GO = \sqrt[3]{4 \times 9 \times 36} = \sqrt[3]{1296} = \sqrt[3]{6^4} = 6\sqrt[3]{6} \))

Daha basit bir örnek: 2 ve 8'in geometrik ortalaması: \( GO = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \)

Temel Farklar

• Hesaplama Yöntemi: Aritmetik ortalama toplama ve bölme işlemlerine dayanırken, geometrik ortalama çarpma ve kök alma işlemlerine dayanır.
• Uç Değerlerden Etkilenme: Aritmetik ortalama, veri setindeki aşırı büyük veya küçük değerlerden (uç değerler/sapan değerler) çok fazla etkilenir. Geometrik ortalama ise bu tür uç değerlerden aritmetik ortalamaya kıyasla daha az etkilenir.
• Kullanım Alanları:
  • Aritmetik Ortalama: Sınav notları, yaş ortalaması, günlük sıcaklık değerleri gibi birbirinden bağımsız verilerin ortalamasını almak için idealdir.
  • Geometrik Ortalama: Yıllık nüfus artışı, yatırım getirisi (faiz), ekonomik büyüme oranları gibi oranların ve bileşik büyümenin olduğu durumlarda kullanılır. Zaman içinde değişen veri serileri için daha doğru bir ortalamadır.
• Matematiksel İlişki: Aynı pozitif sayılar kümesi için, geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan küçük veya ona eşittir. Yani \( GO \leq AO \). Bu iki ortalama yalnızca tüm sayılar birbirine eşitse eşit olur.

Karşılaştırmalı Örnek:

1, 10 ve 100 sayılarını ele alalım.

• Aritmetik Ortalama: \( AO = \frac{1 + 10 + 100}{3} = \frac{111}{3} = 37 \)
• Geometrik Ortalama: \( GO = \sqrt[3]{1 \times 10 \times 100} = \sqrt[3]{1000} = 10 \)

Gördüğünüz gibi, 100 gibi bir uç değer aritmetik ortalamayı oldukça yukarı çekmişken (37), geometrik ortalama bu etkiden daha az etkilenmiştir (10). Bu, geometrik ortalamanın uç değerlere karşı daha "dirençli" olduğunu gösterir.