10. Sınıf Dik Üçgende Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant Nasıl Bulunur?

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle hangi açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranının sinüs olduğunu karıştırıyorum. Ayrıca sorularda bana verilen kenar uzunluklarına göre bu oranları nasıl bulacağımı tam oturtamadım.

Answer 1

📐 Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen matematik dalıdır. Dik üçgenlerde bu ilişkileri ifade etmek için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik oranlar kullanılır.

🎯 Temel Kavramlar

Bir dik üçgende üç temel kenar vardır:

• 📏 Hipotenüs: Dik açının karşısındaki kenar (en uzun kenar)
• 📐 Karşı Dik Kenar: İlgilendiğimiz açının karşısındaki kenar
• 📐 Komşu Dik Kenar: İlgilendiğimiz açıya komşu olan dik kenar

🧮 Trigonometrik Oranların Tanımı

Aşağıdaki dik üçgende \( \alpha \) açısı için trigonometrik oranlar:

• ➗ Sinüs (sin): Karşı dik kenarın hipotenüse oranı
  \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• ➗ Kosinüs (cos): Komşu dik kenarın hipotenüse oranı
  \( \cos(\alpha) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• ➗ Tanjant (tan): Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı
  \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} \)
• ➗ Kotanjant (cot): Komşu dik kenarın karşı dik kenara oranı
  \( \cot(\alpha) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Karşı Kenar}} \)

💡 Önemli İlişkiler

• 🔄 Tanjant ve kotanjant birbirinin çarpmaya göre tersidir:
  \( \tan(\alpha) = \frac{1}{\cot(\alpha)} \) veya \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \)
• 🔄 Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır:
  \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)
• 🔄 Kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır:
  \( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \)

📝 Örnek Problem

Bir dik üçgende hipotenüs 10 cm, bir dik kenar 6 cm ise, bu dik kenarın karşısındaki açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini bulalım.

Çözüm:

1. 🎯 Önce diğer dik kenarı bulalım (Pisagor teoremi ile):
   \( \text{Diğer kenar} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) cm
2. 🎯 Şimdi 6 cm kenarın karşısındaki açıya \( \alpha \) diyelim:
   \( \sin(\alpha) = \frac{6}{10} = 0,6 \)
   \( \cos(\alpha) = \frac{8}{10} = 0,8 \)
   \( \tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0,75 \)
   \( \cot(\alpha) = \frac{8}{6} \approx 1,33 \)

✅ Pratik Yöntem

Trigonometrik oranları hatırlamak için şu pratik yöntemi kullanabilirsiniz:

• 🔄 Sinüs = Karşı/Hipotenüs → SKH
• 🔄 Kosinüs = Komşu/Hipotenüs → KKH
• 🔄 Tanjant = Karşı/Komşu → TKK
• 🔄 Kotanjant = Komşu/Karşı → KKK

📌 Özet

Dik üçgende trigonometrik oranları bulmak için:

• ✅ Önce açıyı ve kenarları belirleyin
• ✅ Karşı, komşu ve hipotenüs kenarlarını tanımlayın
• ✅ İstenen oranın formülünü uygulayın
• ✅ Gerekirse sadeleştirme yapın