x in kuvveti negatif olursa polinom olur mu

Question

Bir polinomda değişkenin üssünün doğal sayı olması gerekiyor. Eğer x'in kuvveti negatifse, örneğin x⁻² gibi, bu ifade artık bir polinom olmuyor. Bu tür ifadeleri polinom kabul etmiyoruz çünkü üsler negatif veya kesirli olamaz.

Answer 1

Bu soruyu cevaplamak için önce polinomun tanımını hatırlamamız gerekir.

Polinom Nedir?

Bir polinom, değişkenlerin yalnızca negatif olmayan tam sayı kuvvetlerine sahip olduğu bir cebirsel ifadedir. Genel formu şöyledir:

\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x^1 + a_0x^0 \)

Burada \( n \) bir doğal sayıdır (0, 1, 2, 3, ...) ve \( a_n, a_{n-1}, ..., a_0 \) katsayılardır.

Negatif Kuvvetler ve Polinomlar

Eğer bir ifadede \( x \)'in kuvveti negatif bir tam sayı ise (örneğin \( x^{-1} \), \( x^{-2} \)), o ifade bir polinom değildir.

Örneğin:

• \( 4x^3 - 2x + 7 \) → Bir polinomdur. Tüm kuvvetler (3, 1, 0) negatif olmayan tam sayılardır.
• \( 5x^2 + x^{-1} \) → Bir polinom değildir. Çünkü \( x^{-1} \) teriminin kuvveti -1'dir, bu negatif bir tam sayıdır.
• \( \frac{3}{x} + 2x \) → Bu ifade \( 3x^{-1} + 2x^1 \) şeklinde yazılabilir. \( x^{-1} \) terimini içerdiği için bir polinom değildir.

Sonuç

Bir ifadenin polinom olarak adlandırılabilmesi için, değişkenin üslerinin 0 ve pozitif tam sayılar olması gerekir. Bu nedenle, \( x \)'in kuvveti negatif bir sayı olursa, o ifade artık bir polinom olmaktan çıkar. Bu tür ifadelere rasyonel fonksiyon veya cebirsel ifade denir.