Polinomlar, matematikte çok önemli bir yere sahip ifadelerdir. Bir ifadenin polinom olabilmesi için belirli kurallara uyması gerekir. Soruda verilen tanıma göre, bir polinom $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ şeklindedir. Bu tanımın en kritik noktası şudur:
- Değişkenin (burada $x$) kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. Doğal sayılar kümesi $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir. Yani, $x$'in kuvveti negatif bir tam sayı, kesirli bir sayı veya köklü bir ifade olamaz.
- Katsayılar ($a_n, a_{n-1}, ..., a_0$) herhangi bir gerçek sayı olabilir.
Şimdi seçenekleri bu kurallara göre inceleyelim:
- A) $2x^{-3} + x^2 - 1$
- Bu ifadede $x$'in kuvvetlerinden biri $-3$'tür.
- $-3$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.
- B) $x^2 + \sqrt{x} + 3$
- Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi bulunmaktadır.
- $\sqrt{x}$ ifadesini üslü biçimde yazarsak $x^{1/2}$ olur.
- $1/2$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır).
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.
- C) $5x^4 - 2x^2 + x/2$
- Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $4$, $2$ ve $1$ (çünkü $x/2 = \frac{1}{2}x^1$) şeklindedir.
- $4$, $2$ ve $1$ doğal sayılardır.
- Katsayılar ($5$, $-2$, $1/2$) gerçek sayılardır.
- Tüm şartlar sağlandığı için, bu ifade bir polinomdur.
- D) $(x^3 + 1)/(x + 1)$
- Bu ifade, iki polinomun birbirine oranı şeklinde yazılmıştır. Bu tür ifadelere rasyonel ifade denir.
- Bir polinomun tanımı gereği, değişken paydada bulunamaz. Eğer bu ifadeyi $x^3+1$ ve $(x+1)^{-1}$ şeklinde düşünürsek, $(x+1)^{-1}$ terimi negatif üs içerir.
- Her ne kadar bu ifade sadeleştirildiğinde $(x^3+1)/(x+1) = (x+1)(x^2-x+1)/(x+1) = x^2-x+1$ (ancak $x \neq -1$ koşuluyla) bir polinom gibi görünse de, verilen haliyle bir polinom değildir. Polinomlar her zaman tüm gerçek sayılar için tanımlıdır, ancak bu ifade $x=-1$ için tanımsızdır.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki ifadenin polinom tanımına uyduğunu görmekteyiz.
Cevap C seçeneğidir.
