Bir ifadenin polinom olabilmesi için tüm terimlerin $a_nx^n$ formatında olması ve n'nin negatif olmaması gerekir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinomdur?
A) $x^2 + \frac{1}{x} + 3$
B) $2x^3 - 5x + \frac{x}{2}$
C) $\sqrt{x} + 2x - 1$
D) $x^{-2} + x + 7$
Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (genellikle $x$) tüm kuvvetlerinin (üslerinin) negatif olmayan birer tam sayı olması gerekir. Yani, kuvvetler negatif olamaz ve kesirli olamaz. Genel olarak, bir terim $a_nx^n$ formatında olmalı ve $n$ değeri $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi negatif olmayan bir tam sayı (doğal sayı) olmalıdır.
Şimdi seçenekleri bu kurala göre adım adım inceleyelim:
- A) $x^2 + \frac{1}{x} + 3$
Bu ifadede $\frac{1}{x}$ terimi, üslü ifade olarak $x^{-1}$ şeklinde yazılabilir. Buradaki kuvvet (üs) $-1$'dir. Polinom tanımına göre kuvvetlerin negatif olmaması gerektiği için, $-1$ negatif bir tam sayı olduğundan bu ifade bir polinom değildir.
- B) $2x^3 - 5x + \frac{x}{2}$
Bu ifadede yer alan her bir terimin değişkeninin kuvvetini inceleyelim:
- $2x^3$ teriminde $x$'in kuvveti $3$'tür. ($3$ negatif olmayan bir tam sayıdır.)
- $-5x$ teriminde $x$'in kuvveti $1$'dir. ($1$ negatif olmayan bir tam sayıdır.)
- $\frac{x}{2}$ terimi $\frac{1}{2}x$ olarak da yazılabilir ve $x$'in kuvveti $1$'dir. ($1$ negatif olmayan bir tam sayıdır.)
Tüm terimlerde $x$'in kuvvetleri negatif olmayan tam sayılar olduğu için bu ifade bir polinomdur.
- C) $\sqrt{x} + 2x - 1$
Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi, üslü ifade olarak $x^{\frac{1}{2}}$ şeklinde yazılabilir. Buradaki kuvvet (üs) $\frac{1}{2}$'dir. Polinom tanımına göre kuvvetlerin tam sayı olması gerektiği için, $\frac{1}{2}$ bir tam sayı olmadığı (kesirli olduğu) için bu ifade bir polinom değildir.
- D) $x^{-2} + x + 7$
Bu ifadede $x^{-2}$ teriminde $x$'in kuvveti $-2$'dir. Polinom tanımına göre kuvvetlerin negatif olmaması gerektiği için, $-2$ negatif bir tam sayı olduğundan bu ifade bir polinom değildir.
Yukarıdaki incelemelere göre, sadece B seçeneğindeki ifadenin tüm terimlerinin değişken kuvvetleri negatif olmayan tam sayılardır.
Cevap B seçeneğidir.
