Yarıçapı 10 cm olan kürenin içine çizilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği kaç cm'dir?
A) 10Sevgili öğrenciler, bu problemde kürenin içine çizilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliğini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Kürenin yarıçapı $R = 10$ cm olarak verilmiştir. Bizden istenen, bu kürenin içine çizilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği ($h$) değeridir.
Bir kürenin içine çizilen bir dik dairesel koniyi hayal edelim. Koninin tabanı kürenin içinde bir daire, tepe noktası ise kürenin yüzeyindedir. Kürenin merkezini $O$ olarak alalım. Koninin yüksekliği $h$ ve taban yarıçapı $r$ olsun. Koninin tepe noktası kürenin yüzeyinde olduğundan, kürenin merkezinden koninin tabanına olan uzaklık ile koninin yüksekliği arasında bir ilişki kurabiliriz. Kürenin merkezinden koninin tabanının merkezine olan uzaklığa $x$ diyelim. Bu durumda, koninin yüksekliği $h = R + x$ veya $h = R - x$ olabilir. Maksimum hacim için koninin tepe noktası kürenin yüzeyinde ve tabanı kürenin merkezinden bir miktar uzakta olur. Bu durumda, kürenin merkezinden koninin tabanına olan uzaklık $x = |h - R|$ olacaktır. Koninin taban yarıçapı $r$, kürenin yarıçapı $R$ ve $x$ arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır: $r^2 + x^2 = R^2$. $x = |h - R|$ ifadesini yerine koyarsak: $r^2 + (h - R)^2 = R^2$. Bu denklemi $r^2$ için çözelim:
$r^2 = R^2 - (h - R)^2$
$r^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2)$
$r^2 = R^2 - h^2 + 2Rh - R^2$
$r^2 = 2Rh - h^2$.
Bir dik dairesel koninin hacmi $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ formülü ile bulunur. Yukarıda bulduğumuz $r^2$ ifadesini hacim formülünde yerine yazalım:
$V(h) = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h$
$V(h) = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$.
Bir fonksiyonun maksimum değerini bulmak için, fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlememiz gerekir. $V(h)$ fonksiyonunun $h$'ye göre türevini alalım:
$V'(h) = \frac{d}{dh} \left[ \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3) \right]$
$V'(h) = \frac{1}{3} \pi (4Rh - 3h^2)$.
Türevi sıfıra eşitleyelim:
$\frac{1}{3} \pi (4Rh - 3h^2) = 0$
$4Rh - 3h^2 = 0$.
Bu denklemi $h$ için çözelim:
$h(4R - 3h) = 0$.
Buradan iki olası çözüm çıkar: $h = 0$ veya $4R - 3h = 0$. $h = 0$ olması koninin hacminin sıfır olması anlamına gelir ki bu minimum hacimdir. Diğer çözüm bize maksimum hacmi verecektir:
$4R - 3h = 0 \Rightarrow 3h = 4R \Rightarrow h = \frac{4R}{3}$.
Bu değerin maksimum olduğunu ikinci türev testi ile de doğrulayabiliriz, ancak genellikle bu tür problemlerde tek pozitif çözüm maksimum değeri verir.
Kürenin yarıçapı $R = 10$ cm olarak verilmişti. Bulduğumuz $h$ formülünde $R$ değerini yerine koyalım:
$h = \frac{4 \cdot 10}{3}$
$h = \frac{40}{3}$ cm.
Cevap C seçeneğidir.
